[论文解读] Well-posedness for conservation laws with spatial heterogeneities and a study of BV regularity

Shyam Sundar Ghoshal, John D. Towers+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文通过前向追踪算法和一种新型熵条件，建立了具有空间间断且退化的通量（通量可能在区间上为平坦）的标量守恒律的存在性、唯一性及BV正则性。在初始数据满足新条件的前提下，证明了BV有界性，并构造反例表明该条件的最优性，从而解决了退化通量情形下的开放问题。

ABSTRACT

In this article, we consider scalar conservation laws with fluxes having spatial discontinuities and possible flat regions and study the following three aspects: (i) existence, (ii) uniqueness and (iii) BV regularity of solutions. We propose a uniqueness condition and prove existence of a weak solution via the method of wave front tracking. In the later part of the article, a BV bound of the solution is achieved under a suitable condition on the initial data and flux. We construct two counterexamples showing BV blow-up of the solution which proves the optimality on the assumptions

研究动机与目标

• 解决标量守恒律在通量具有退化性（由于非严格严格凸或非单射行为）时唯一性问题的开放问题，此时通量在区间上为平坦区域。
• 通过前向追踪算法，为一般间断且退化的通量建立自适应熵解的存在性，填补了此前该类问题中此类存在性尚未被证明的文献空白。
• 在存在无穷多个空间间断点的情况下，提供一个确保熵解有有界变差（BV）正则性的充分条件，而在此类情形下，BV爆破原本是可能的。
• 通过构造两个反例，证明所提BV条件的最优性，表明当该条件被违反时，BV爆破确实会发生。
• 将理论从经典情形（有限多个间断点）扩展到更复杂的无穷多个间断点且具有聚点的情形，特别是在退化通量区域。

提出的方法

• 为退化通量（即 $ A(x,u) $ 的最小值出现在区间 $[a,b]$ 上）提出一种新型熵条件，以确保唯一性，且无需通量映射的单射性要求。
• 使用前向追踪方法，通过在间断点求解黎曼问题并追踪波的相互作用，构造近似解，并证明其收敛于弱解。
• 引入奇异映射技术以处理具有平坦区域的通量，确保前向追踪格式的稳定性和收敛性。
• 通过引入对初始数据的新条件，控制间断点之间的变差增长，从而通过总变差估计建立紧致性。
• 构造两个反例，表明当初始数据条件被放松时，BV正则性会失效，从而证明所提BV条件的必要性和最优性。
• 应用类似Godunov的逼近框架，并结合测度取值解，以支持在退化情形下的存在性和收敛性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于通量在空间上间断且退化（即在 $ u $ 上为平坦区间）的标量守恒律，能否保证存在唯一的自适应熵解？
• RQ2 是否可能通过前向追踪方法证明此类退化且间断通量的弱解存在性，而此前方法均未能实现？
• RQ3 对初始数据施加何种条件，可确保即使存在无穷多个空间间断点，解的总变差在时间上仍保持有界？
• RQ4 BV正则性的条件是否最优？在更弱假设下，BV爆破是否可能发生？
• RQ5 与具有有限多个间断点的经典情形相比，解在存在无穷多个间断点时的行为有何不同？

主要发现

• 提出一种新型熵条件，即使在通量 $ A(x,u) $ 退化（即在区间 $[a,b]$ 上取得最小值，且 $ a < b $）时，也能确保自适应熵解的唯一性。
• 通过前向追踪方法，证明了对一般间断且退化通量，自适应熵解的存在性，解决了文献中长期悬而未决的问题。
• 识别出一个对初始数据的充分条件，使得即使存在无穷多个空间间断点，解的总变差在时间上仍保持一致有界。
• 构造了两个反例，表明当初始数据条件被违反时，BV爆破确实会发生，从而证明所提BV有界条件的紧致性和最优性。
• 在反例中，解在时间 $ t=1 $ 处表现出无限总变差，表明在未满足所提条件时，BV正则性无法被期待。
• 结果揭示了在退化情形下，有限个与无穷多个间断点在正则性行为上存在根本性差异。