[论文解读] Well-Posedness for Some Non-Linear Diffusion Processes and Related PDE on the Wasserstein Space

Paul-Éric Chaudru de Raynal, Noufel Frikha|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 23

一句话总结

本文在系数的弱正则性假设下，通过在完备度量空间上的不动点论证，建立了非线性 McKean-Vlasov SDE 及其相关线性 PDE 在 Wasserstein 空间上的适定性。证明了转移密度的存在性与光滑性，并给出了导数的高斯型界，同时建立了具有不规则数据的线性柯西问题的存在性与唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the well-posedness of the martingale problem associated to non-linear stochastic differential equations (SDEs) in the sense of McKean-Vlasov under mild assumptions on the coefficients as well as classical solutions for a class of associated linear partial differential equations (PDEs) defined on $[0,T] imes \mathbb{R}^d imes \mathcal{P}\_2(\mathbb{R}^d)$, for any $T>0$, $\mathcal{P}\_2(\mathbb{R}^d)$ being the Wasserstein space (i.e. the space of probability measures on $\mathbb{R}^d$ with a finite second-order moment). In this case, the derivative of a map along a probability measure is understood in the Lions' sense. The martingale problem is addressed by a fixed point argument on a suitable complete metric space, under some mild regularity assumptions on the coefficients that covers a large class of interaction. Also, new well-posedness results in the strong sense are obtained from the previous analysis. Under additional assumptions, we then prove the existence of the associated density and investigate its smoothness property. In particular, we establish some Gaussian type bounds for its derivatives. We eventually address the existence and uniqueness for the related linear Cauchy problem with irregular terminal condition and source term.

研究动机与目标

• 在系数的弱正则性条件下，建立非线性 McKean-Vlasov SDE 的弱适定性与强适定性。
• 证明相关 SDE 的转移密度的存在性与光滑性，并给出其导数的高斯型界。
• 在 Wasserstein 空间上求解具有不规则终端项与源项的线性柯西问题。
• 利用 Lions 在概率测度上的微分法，将参数化展开技术推广至平均场设定。
• 通过在概率测度的完备度量空间中使用不动点论证，解决马林加勒问题的表述。

提出的方法

• 利用 Lions 在 Wasserstein 空间中的导数，表述 McKean-Vlasov SDE 的马林加勒问题。
• 在概率测度的完备度量空间上应用不动点论证，证明弱唯一性。
• 基于参数化方法，采用温和形式的转移密度，以进行摄动分析。
• 利用时空不等式与 Hölder 正则性估计，控制密度的时间与空间增量。
• 通过迭代估计与热核比较，推导出密度及其导数的高斯型界。
• 通过对偶性与正则性传递，建立具有不规则终端与源数据的 Wasserstein 空间上线性 PDE 的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在系数的何种弱正则性条件下，非线性 McKean-Vlasov SDE 的马林加勒问题具有唯一解？
• RQ2 此类 SDE 关联的转移密度具有何种光滑性与衰减性质？
• RQ3 在平均场设定下，能否为转移密度的导数建立高斯型界？
• RQ4 参数化方法如何被适配至 Wasserstein 空间框架，以处理非线性扩散？
• RQ5 在何种条件下，Wasserstein 空间上具有不规则数据的线性柯西问题存在唯一解？

主要发现

• 在系数的弱正则性假设下，包括对测度变量的时间与空间 Hölder 连续性，非线性 McKean-Vlasov SDE 的马林加勒问题具有适定性。
• 转移密度存在且光滑，其导数满足形如 $ C(t-s)^{-n/2} e^{-c|z-x|^2/(t-s)} $ 的高斯型界，其中 $ n $ 为导数阶数。
• 密度及其导数被证明在时间和空间上具有 Hölder 连续性，其依赖关系明确体现于 Hölder 指数 $ \eta $ 与时间距离 $ t-s $。
• 参数化展开技术成功推广至平均场设定，通过迭代积分表示实现了密度估计的推导。
• 在 Wasserstein 空间上，具有不规则终端条件与源项的线性柯西问题存在唯一解，该结果通过对偶性与从 SDE 分析中传递正则性而建立。
• 在额外假设（包括非退化扩散与系数有界性）下，对概率测度的完备度量空间上的不动点论证，可导出强适定性结果。