[论文解读] Well-posedness of nolinear fractional Schrödinger and wave equations in Sobolev spaces

Van Duong Dinh|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^d$ 上建立了非线性分数阶薛定谔方程与波动方程在次临界与临界情形下的局部与全局适定性，扩展了先前的结果，证明了在 Sobolev 空间 $H^\gamma$ 中适定性成立，其中 $\gamma < d/2$，包括 $\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$ 与 $\nu > 1$ 的情形，并证明了小临界数据的散射性。分析依赖于改进的 Strichartz 估计以及在原子与型 Besov 函数空间中的不动点论证。

ABSTRACT

We prove the well-posed results in sub-critical and critical cases for the pure power-type nonlinear fractional Schrödinger equations on $\mathbb{R}^d$. These results extend the previous ones in \cite{HongSire} for $σ\geq 2$. This covers the well-known result for the Schrödinger equation $σ= 2$ given in \cite{CazenaveWeissler}. In the case $σ\in (0,2)\backslash \{1\}$, we give the local well-posedness in sub-critical case for all exponent $ν&gt; 1$ in contrast of ones in \cite{HongSire}. This also generalizes the ones of \cite{ChoHwangKwonLee} when $d = 1$ and of \cite{GuoHuo} when $d \geq 2$ where the authors considered the cubic fractional Schrödinger equation with $σ\in (1,2)$. We also give the global existence in energy space under some assumptions. We finally prove the local well-posedness in sub-critical and critical cases for the pure power-type nonlinear fractional wave equations.

研究动机与目标

• 将非线性分数阶薛定谔方程与波动方程的适定性理论扩展至此前已知范围 $\sigma \geq 2$ 之外。
• 在 $\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$ 且 $\nu > 1$ 的次临界与临界情形下，建立适定性，改进了早期要求 $d=1$ 时 $\nu \geq 2$ 且 $d \geq 2$ 时 $\nu \geq 3$ 的结果。
• 在适当假设下，证明分数阶薛定谔方程在能量空间 $H^{\sigma/2}$ 中的全局存在性与散射性。
• 开启对非线性分数阶波动方程（NLFW）的研究，此前尚未系统分析过，建立了其在次临界与临界情形下的局部与全局适定性。

提出的方法

• 利用 Littlewood-Paley 分解与二进制频率投影 $P_N$ 在频域分解函数，并控制 $H^\gamma$ 与 $\dot{H}^\gamma$ 空间中的正则性。
• 对分数阶薛定谔与波动传播子 $e^{\pm it\Lambda^\sigma}$ 应用改进的 Strichartz 估计，尤其在临界与次临界情形下。
• 在完备度量空间 $Y$ 中使用不动点论证，该空间包含在 $L^p(I, L^p)$、$C(I, \dot{H}^{\gamma})$ 与 $C^1(I, \dot{H}^{\gamma - \sigma})$ 中有界范数的函数，参数 $M$ 与 $N$ 经仔细选择。
• 利用伴随 Strichartz 估计控制非线性项，并证明迭代方案的收敛性，从而确保解的存在性与唯一性。
• 在空间 $Y$ 上使用压缩映射原理，该空间配备结合了 $L^\infty(I, \dot{H}^{\gamma})$ 与 $L^\nu(I, L^{2\nu})$ 范数的度量，用于波动方程。
• 通过证明非线性演化在 $t \to \pm\infty$ 时在能量范数下收敛，建立散射性，利用非线性相互作用项在 $L^1$-型范数下的衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性分数阶薛定谔方程的适定性理论能否扩展至 $\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$ 且 $\nu > 1$ 的次临界与临界情形？
• RQ2 临界分数阶薛定谔方程的全局存在性与散射结果是否对 $\dot{H}^{\sigma/2}$ 中的小齐次初值成立，而非非齐次初值？
• RQ3 非线性分数阶波动方程（NLFW）在临界与次临界情形下是否适定？能否为小初值建立散射性？
• RQ4 能否在 $\gamma < d/2$ 的 $H^\gamma$ 空间中证明分数阶薛定谔方程的局部适定性，其中 $\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$ 且 $\nu > 1$，超越已知的 $\nu \geq 2$ 要求？
• RQ5 分数阶波动方程的允许 Strichartz 估计的最优范围是什么？其与临界指数 $\nu = 1 + 4\sigma/(d - 2\sigma)$ 的关系如何？

主要发现

• 在次临界情形下，对所有 $\nu > 1$ 与 $\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$，建立了非线性分数阶薛定谔方程的局部适定性，扩展了先前要求 $d=1$ 时 $\nu \geq 2$ 且 $d \geq 2$ 时 $\nu \geq 3$ 的结果。
• 在适当假设下，证明了分数阶薛定谔方程在能量空间 $H^{\sigma/2}$ 中的全局存在性。
• 对临界分数阶薛定谔方程，建立了小齐次初值在 $\dot{H}^{\sigma/2}$ 中的散射性，改进了先前要求非齐次初值的结果。
• 对非线性分数阶波动方程，通过在具有有界 $L^\infty(I, \dot{H}^{\gamma_{\text{w}}})$ 与 $L^\nu(I, L^\nu)$ 范数的函数空间中使用不动点论证，证明了其在次临界与临界情形下的局部适定性。
• 通过证明非线性演化在 $t \to \pm\infty$ 时在能量范数下收敛，建立了临界分数阶波动方程在小初值 $\dot{H}^\sigma \times L^2$ 下的散射性。
• 证明了临界指数 $\nu = 1 + 4\sigma/(d - 2\sigma)$ 对于波动方程是最优的，且对 $(\nu, 2\nu)$ 对在 Strichartz 估计中是允许的。