[论文解读] Well-posedness of stochastic heat equation with distributional drift and skew stochastic heat equation

Siva Athreya, Oleg Butkovsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2020

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

该论文通过一种新颖的随机搓揉引理方法，建立了在Besov空间 $\beta_{q,\infty}^{\beta}(\mathbb{R})$ 中具有分布型漂移的随机热方程的适定性。当 $\beta - 1/q \geq -1$，$\beta > -1$，且 $q \in [1,\infty]$ 时，证明了强解的存在性与唯一性，包括漂移为Dirac函数（偏斜随机热方程）的情形，解决了[BZ14]中的一个开放问题。该方法避免了Girsanov和Zvonkin变换，转而依赖于基于随机控制和临界指数的新随机搓揉框架实现噪声正则化。

ABSTRACT

We study stochastic reaction--diffusion equation $$ \\partial_tu_t(x)=\\frac12 \\partial^2_{xx}u_t(x)+b(u_t(x))+\\dot{W}_{t}(x), \\quad t>0,\\, x\\in D $$ where $b$ is a generalized function in the Besov space $\\mathcal{B}^\\beta_{q,\\infty}({\\mathbb R})$, $D\\subset{\\mathbb R}$ and $\\dot W$ is a space-time white noise on ${\\mathbb R}_+\ imes D$. We introduce a notion of a solution to this equation and obtain existence and uniqueness of a strong solution whenever $\\beta-1/q\\ge-1$, $\\beta>-1$ and $q\\in[1,\\infty]$. This class includes equations with $b$ being measures, in particular, $b=\\delta_0$ which corresponds to the skewed stochastic heat equation. For $\\beta-1/q > -3/2$, we obtain existence of a weak solution. Our results extend the work of Bass and Chen (2001) to the framework of stochastic partial differential equations and generalizes the results of Gy\\"ongy and Pardoux (1993) to distributional drifts. To establish these results, we exploit the regularization effect of the white noise through a new strategy based on the stochastic sewing lemma introduced in L\\^e~(2020).

研究动机与目标

• 在漂移 $b$ 属于Besov空间 $\mathcal{B}^{\beta}_{q,\infty}(\mathbb{R})$ 且为奇异型（如测度或 $\delta_0$）时，建立随机热方程的适定性。
• 将Bass和Chen（2001）的工作从SDE推广至SPDE，证明在 $b$ 的正则性假设最小化条件下的强解存在性与唯一性。
• 通过引入具有随机控制和临界指数的新随机搓揉引理，将Gy€¶ngy和Pardoux（1993）的结果推广至分布型漂移。
• 解决偏斜随机热方程中 $b = \kappa \delta_0$ 的适定性开放问题。
• 构建一个稳健的SPDE噪声正则化框架，无需依赖Girsanov或Zvonkin变换。

提出的方法

• 为具有分布型漂移的SPDE提出了一种新解概念，基于Bass和Chen（2001）启发的鞅问题形式化。
• 应用L\^e（2020）提出的广义随机搓揉引理，并将其扩展以处理奇异性、临界指数和随机控制。
• 利用热核估计与Besov空间嵌入控制解与漂移复合的正则性。
• 通过条件期望与高斯混沌估计控制解及其增量的矩。
• 通过构造依赖于噪声路径的随机控制，利用随机搓揉引理建立先验估计。
• 利用空间-时间白噪声的正则化效应，使原本不适定的确定性系统在随机设定下变为适定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，漂移 $b \in \mathcal{B}^{\beta}_{q,\infty}(\mathbb{R})$ 使得随机热方程存在唯一的强解？
• RQ2 偏斜随机热方程中 $b = \kappa \delta_0$ 是否适定？若适定，对 $\kappa$ 的正则性假设为何？
• RQ3 如何将随机搓揉引理扩展以处理SPDE中随机控制与临界指数？
• RQ4 是否可能在不使用Girsanov或Zvonkin变换的前提下证明具有分布型漂移的SPDE的适定性？
• RQ5 使得解保持定义良好且唯一的 $\beta$ 与 $q$ 的精确临界阈值是什么？

主要发现

• 当 $\beta - 1/q \geq -1$，$\beta > -1$，且 $q \in [1,\infty]$ 时，漂移 $b \in \mathcal{B}^{\beta}_{q,\infty}(\mathbb{R})$ 的随机热方程存在唯一的强解，将Bass和Chen（2001）的结果推广至SPDE。
• 当 $\beta - 1/q > -3/2$ 时，弱解存在，表明在更弱假设下也存在更广范围的适定性。
• 偏斜随机热方程中 $b = \kappa \delta_0$ 是适定的，解决了[BZ14]中的一个开放问题。
• 随机搓揉引理被推广以允许使用随机控制与临界指数，从而能够分析奇异漂移。
• 该方法避免了在SPDE语境中无效的Girsanov与Zvonkin变换，转而依赖于通过热核与Besov范数实现的噪声正则化。
• 通过高斯混沌与Besov嵌入推导出解泛函条件期望的矩估计，得到如下形式的界：$\|\mathbb{E}^u f(V_t(x))\|_{L^n} \leq C \|\|f\|_{\mathcal{B}^\gamma_p}\|_{L^n} (t-u)^{\gamma/4} (u-s)^{-1/(2p)} (t-s)^{1/(4p)}$。