[论文解读] Well-posedness of the Dean--Kawasaki and the nonlinear Dawson--Watanabe equation with correlated noise

Benjamin Fehrman, Benjamin Gess|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2021

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 4

一句话总结

本文通过一种新颖的随机动力学解框架，建立了带相关噪声的Dean–Kawasaki方程与非线性Dawson–Watanabe方程的适定性。证明了路径几乎处处的$L^1$-收缩性，并在扩散系数仅局部为$\frac{1}{2}$-霍尔德连续（包括平方根情形）时，建立了存在性与唯一性，从而解决了波动水动力学与退化及不规则噪声下的随机PDE领域长期存在的开放问题。

ABSTRACT

In this paper we prove the well-posedness of the generalized Dean--Kawasaki equation driven by noise that is white in time and colored in space. The results treat diffusion coefficients that are only locally 1/2-Hölder continuous, including the square root. This solves several open problems, including the well-posedness of the Dean--Kawasaki equation and the nonlinear Dawson--Watanabe equation with correlated noise.

研究动机与目标

• 解决Dean–Kawasaki方程在相关噪声下数学适定性的长期开放问题。
• 为具有退化扩散与不规则噪声系数的保守与非保守随机PDE建立稳健的解理论。
• 解决具有Stratonovich噪声与非利普希茨扩散系数的随机PDE中路径连续性与标准先验估计的缺失问题。
• 通过路径收缩为保守随机PDE中的随机动力系统（RDS）构造提供基础。
• 将理论扩展至包含非平凡零阶项的情形，涵盖带相关噪声的非线性Dawson–Watanabe方程。

提出的方法

• 为具有相关噪声的非负解SPDE，提出一种定制化的随机动力学解框架。
• 采用重整化解技术，处理退化与不规则扩散下从Stratonovich到Itô校正的奇异性。
• 使用基于$L^p$的估计（$p \in [2, \infty)$）与基于熵的估计，处理具有有限熵的初始数据。
• 应用Itô公式与Burkholder–Davis–Gundy不等式，控制由Itô噪声引起的鞅项。
• 利用插值不等式与杨不等式，在最小正则性假设下闭合能量估计。
• 通过先验估计建立路径几乎处处的$L^1$-收缩性，确保解对初始数据的稳定性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 带相关噪声的Dean–Kawasaki方程能否获得数学上严格的解理论？
• RQ2 当扩散系数仅局部为$\frac{1}{2}$-霍尔德连续时，带相关噪声的非线性Dawson–Watanabe方程是否适定？
• RQ3 能否为具有退化扩散与非利普希茨噪声系数的保守SPDE建立解理论，以确保对初始数据的路径连续性？
• RQ4 随机动力学解框架是否允许包含非平凡零阶项与熵正则化初始数据？
• RQ5 此类SPDE能否建立路径几乎处处的$L^1$-收缩性，从而实现随机动力系统（RDS）的构造？

主要发现

• 本文证明了广义Dean–Kawasaki方程在带相关噪声情形下存在唯一的随机动力学解。
• 建立了路径几乎处处的$L^1$-收缩性，确保了解对初始数据的几乎必然连续性。
• 该解理论适用于仅局部为$\frac{1}{2}$-霍尔德连续的扩散系数，包括平方根情形，从而解决了关键开放问题。
• 结果可推广至带相关噪声的非线性Dawson–Watanabe方程，在最小正则性假设下证明其适定性。
• 针对具有有限熵的初始数据，推导出基于熵的估计；并为$p \in [2, \infty)$建立了$L^p$-估计。
• 该框架支持非平凡零阶项，并允许噪声与漂移系数在无穷远处满足至多线性增长条件。