[论文解读] Well-posedness of the Euler equations in a stably stratified ocean in isopycnal coordinates

Théo Fradin|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2024

Navier-Stokes equation solutions被引用 1

一句话总结

本文在无正则化项的前提下，建立了稳定层结海洋中不可压缩欧拉方程在等密度坐标系下的局部适定性，包含剪切流。通过利用等密度坐标系的准二维结构，作者证明了解的存在时间区间为 $1/\varepsilon$ 量级，与 Desjardins 等人（2020）的大时间 regime 一致，同时弥补了 Bianchini 和 Duchêne（2022）因需引入正则化项而留下的空白。关键创新在于在等密度坐标变换下保持了系统的对称结构，从而实现了扰动参数 $\varepsilon$ 下的统一存在时间。

ABSTRACT

This article is concerned with the well-posedness of the incompressible Euler equations describing a stably stratified ocean, reformulated in isopycnal coordinates. Our motivation for using this reformulation is twofold: first, its quasi-2D structure renders some parts of the analysis easier. Second, it closes a gap between the analysis performed in the paper by Bianchini and Duch{ê}ne in 2022 in isopycnal coordinates, with shear velocity but with a regularizing term, and the analysis performed in the paper by Desjardins, Lannes, Saut in 2020 in Eulerian coordinates, without any regularizing term but without shear velocity. Our main result is a local well-posedness result in Sobolev spaces on the system in isopycnal coordinates, with shear velocity, without any regularizing term. The time of existence that we obtain is uniform with respect to the size $ε$ of the perturbation, and boils down to the large time $1/ε$ with the assumptions of the paper by Desjardins, Lannes, Saut in 2020. With additional assumptions, it is also uniform in the shallow-water parameter. The main difficulty consists in transposing to the isopycnal reformulation the symmetric structure of the system which is more straightforward in Eulerian coordinates.

研究动机与目标

• 通过去除 Bianchini 和 Duchêne（2022）所用的正则化项，填补层结欧拉方程分析中的空白，同时保留等密度坐标框架。
• 在无正则化项且包含剪切速度的等密度坐标系下，建立不可压缩欧拉方程在索伯列夫空间中的局部适定性。
• 证明解的存在时间在扰动大小 $\varepsilon$ 下是统一的，其量级为 $1/\varepsilon$，与 Desjardins 等人（2020）的大时间结果一致。
• 在等密度坐标变换下保持系统对称结构，该结构在欧拉坐标系中更自然地保持。

提出的方法

• 通过微分同胚 $\phi$ 将物理域映射到 $r$-坐标系下的固定垂直域 $[0,1]$，将不可压缩欧拉方程在等密度坐标系下重新表述。
• 围绕剪切流平衡态引入大小为 $\varepsilon$ 的扰动假设，得到一个具有小非线性项的系统。
• 利用等密度坐标系的半拉格朗日性质，简化垂直对流的分析，并通过正则化构造解。
• 在各向异性索伯列夫空间 $H^{s,k}$ 中应用乘积与复合估计，以控制非线性项和压强梯度。
• 通过利用不可压缩性约束，建立能量估计，将垂直速度 $w$ 用 $V$ 和 $\eta$ 控制，损失一个导数。
• 利用稳定层结假设（$\varrho' \geq c^*>0$）推导 $\eta$ 的闭合演化方程，并控制浮力项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无正则化项的前提下，是否可在等密度坐标系下建立稳定层结海洋中不可压缩欧拉方程的适定性？
• RQ2 当存在剪切流时，等密度坐标系下解的存在时间是否按 $1/\varepsilon$ 缩放，与 Desjardins 等人（2020）的大时间结果一致？
• RQ3 在等密度坐标变换下，对能量估计至关重要的系统对称结构如何得以保持？
• RQ4 等密度坐标系在简化剪切层流分析中起到什么作用？

主要发现

• 在等密度坐标系下，系统在足够大的索伯列夫空间 $H^s$ 中存在局部解，且解存在于 $O(1/\varepsilon)$ 量级的时间区间内。
• 解的存在时间对 $\varepsilon$ 是统一的，即当 $\varepsilon \to 0$ 时不会缩短，与 Desjardins 等人（2020）的大时间结果一致。
• 在附加假设下，解的存在时间对浅水参数也是统一的，从而将结果扩展至更广的参数范围。
• 作者成功地将系统从欧拉坐标系到等密度坐标系的对称结构进行了转置，这是主要的技术挑战。
• 分析依赖于各向异性索伯列夫估计，并通过 $H^{s,k}$ 空间中的乘积与复合估计对非线性项进行精细控制。
• 通过不可压缩性约束控制垂直速度 $w$，损失一个导数，该问题通过等密度坐标系中方程的结构得以妥善处理。