[论文解读] Well-posedness of the Stokes-transport system in bounded domains and in the infinite strip

Antoine Leblond|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用 19

一句话总结

该论文在 R² 和 R³ 的有界区域以及无限条带 R×(0,1) 中建立了 Stokes-transport 系统在初始密度 ρ₀ ∈ L∞ 下的全局适定性。通过用负 Sobolev 范数替代全空间证明中使用的 Wasserstein 距离，并结合能量估计与椭圆正则性，作者证明了在速度的 Dirichlet 边界条件下解的存在性、唯一性与稳定性，与具有相同初始数据的不可压缩多孔介质方程的不适定性形成鲜明对比。

ABSTRACT

We consider the Stokes-transport system, a model for the evolution of an incompressible viscous fluid with inhomogeneous density. This equation was already known to be globally well-posed for any $L^1\\cap L^\\infty$ initial density with finite first moment in $\\mathbb{R}^3$. We show that similar results hold on different domain types. We prove that the system is globally well-posed for $L^\\infty$ initial data in bounded domains of $\\mathbb{R}^2$ and $\\mathbb{R}^3$ as well as in the infinite strip $\\mathbb{R}\ imes(0,1)$. These results contrast with the ill-posedness of a similar problem, the incompressible porous medium equation, for which uniqueness is known to fail for such a density regularity.

研究动机与目标

• 将 Stokes-transport 系统的全局适定性结果从 R³ 扩展至 R² 和 R³ 的有界区域以及无限条带 R×(0,1)。
• 通过用负 Sobolev 范数替代全空间中使用的 Wasserstein 距离，解决有界区域中格林函数不显式的问题。
• 在速度的 Dirichlet 边界条件下，建立解的存在性、唯一性与稳定性。
• 将 Stokes-transport 系统的适定性与相同初始数据正则性下不可压缩多孔介质方程的不适定性进行对比。

提出的方法

• 采用 Picard 迭代格式，依次求解 Stokes 方程与输运方程。
• 在有界区域中，利用 Stokes 方程的能量估计与负 Sobolev 范数（例如 W^{-m,q}）控制速度场。
• 通过单位分解与局部化方法，定义局部范数（如 H^{-1}_{uloc}）以实现全局估计。
• 在稳定性估计中，使用负 Sobolev 范数而非 Wasserstein 距离来处理输运方程。
• 利用椭圆正则性与 L² 估计控制有界区域中 Stokes 方程的解。
• 通过 L∞ 与 W^{1,∞} 范数中的一致有界性与稳定性估计，证明迭代格式的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 R² 与 R³ 的有界区域中，Stokes-transport 系统对 L∞ 初始密度是否具有全局适定性？
• RQ2 该适定性结果能否扩展至无限条带 R×(0,1)？
• RQ3 由于有界区域中缺乏显式格林函数，与全空间情形相比，证明策略有何影响？
• RQ4 为何 Stokes-transport 系统保持适定性，而不可压缩多孔介质方程在相同初始数据正则性下却无法保证唯一解？
• RQ5 在有界区域中，负 Sobolev 范数能否替代 Wasserstein 距离用于 Stokes-transport 系统的稳定性估计？

主要发现

• 在 R² 与 R³ 的任意 C² 有界区域 Ω 中，Stokes-transport 系统对任意初始密度 ρ₀ ∈ L∞(Ω) 具有全局适定性。
• 在无限条带 R×(0,1) 中，Stokes-transport 系统对初始数据 ρ₀ ∈ L∞(R×(0,1)) 具有全局适定性。
• 解满足 (ρ, u) ∈ L∞(R+; L∞(Ω)) × L∞(R+; W1,∞(Ω))，适用于有界区域与无限条带。
• 该证明通过用负 Sobolev 范数替代全空间分析中使用的 Wasserstein 距离，处理了有界区域中非局部速度耦合的问题。
• 该方法依赖于 Stokes 方程的能量估计与输运方程在负 Sobolev 范数下的稳定性估计。
• 该结果与相同初始数据正则性下不可压缩多孔介质方程的不适定性形成鲜明对比。