[论文解读] Well-posedness of three-dimensional isentropic compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosities and far field vacuum

Zhouping Xin, Shengguo Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文建立了具有退化粘性系数（$μ(ρ) = \alpha\rho^\delta$，$0<\delta<1$）和远场真空的三维等熵可压缩纳维-斯托克斯方程经典解的局部时间适定性。通过引入新变量和相容性条件，识别出一类在非齐次索伯列夫空间中的初始数据，可产生正则解，从而解决了关于具有真空的退化粘性流的开放问题。关键的是，本文证明了全局正则解的速度 $L^\infty$-范数不可能随 $t\to\infty$ 衰减至零，与经典常数粘性理论形成鲜明对比。

ABSTRACT

In this paper, the Cauchy problem for the three-dimensional (3-D) isentropic compressible Navier-Stokes equations is considered. When viscosity coefficients are given as a constant multiple of the density's power ($ρ^δ$ with $0

研究动机与目标

• 解决具有退化粘性系数（$\mu(\rho) = \alpha\rho^\delta$，$0<\delta<1$）和远场真空的三维等熵可压缩纳维-斯托克斯方程的适定性开放问题。
• 在非齐次索伯列夫空间中识别出一类在退化粘性和真空条件下可产生局部经典解的初始数据。
• 分析解的渐近行为，特别是速度的 $L^\infty$-范数是否可能随时间衰减至零。
• 通过处理依赖于密度的粘性系数和真空带来的退化性，将经典适定性理论扩展至常数粘性之外。

提出的方法

• 引入新变量以处理退化粘性系统的非线性结构，特别是管理因 $\rho^\delta$（$\delta < 1$）引起的奇异性。
• 施加特定的初始相容性条件，以确保在退化性和无穷远处真空存在的情况下仍能保证经典解的存在性。
• 在非齐次索伯列夫空间中应用能量估计和索伯列夫嵌入技术，以控制解范数随时间的演化。
• 利用加拉尔多-尼伦伯格不等式，以及对有效粘性通量和涡量的估计，以控制速度的 $L^\infty$-范数。
• 通过标准抛物型理论和延拓论证建立局部适定性，利用初始数据类和相容性条件。
• 利用能量估计和动量方程的结构，证明全局正则解不可能满足 $\|u(t)\|_{L^\infty} \to 0$ 当 $t \to \infty$

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有退化粘性系数（$\mu(\rho) = \alpha\rho^\delta$，$0<\delta<1$）和远场真空的三维等熵可压缩纳维-斯托克斯方程，经典解是否存在？
• RQ2 在非齐次索伯列夫空间中，哪类初始数据在退化粘性和真空条件下可产生局部经典解？
• RQ3 能否构造出全局正则解，其速度场在 $L^\infty$-范数意义下随时间趋于无穷而衰减至零？
• RQ4 与常数粘性情况相比，退化粘性情况下速度场的渐近行为有何不同？

主要发现

• 本文在非齐次索伯列夫空间中识别出一类初始数据，可为具有退化粘性和远场真空的三维等熵可压缩纳维-斯托克斯方程产生唯一局部经典解。
• 解满足能量等式，且由于 $\rho u$ 在 $W^{1,1}(\mathbb{R}^3)$ 中的正则性，质量守恒。
• 对于任何全局正则解，其速度场的 $L^\infty$-范数在 $t \to \infty$ 时不可能衰减至零，这与常数粘性情况形成鲜明对比。
• 在初始数据满足小规模假设时，全局解存在；但速度的 $L^\infty$-范数仅在满足附加条件时才可能在 $t \to \infty$ 时衰减至零，而对一般全局解而言，这种衰减不可能实现。
• 证明依赖于一组新的初始相容性条件和变量变换，以处理 $\delta < 1$ 时 $\rho^\delta$ 的退化性，从而能够应用标准抛物型理论。
• 该结果部分解决了Bresh-Desjardins-Metivier和Jiu-Wang-Xin关于具有真空的退化粘性流的开放问题。