[论文解读] Wellposedness, exponential ergodicity and numerical approximation of fully super-linear McKean--Vlasov SDEs and associated particle systems

Xingyuan Chen, Gonçalo dos Reis+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2023

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

该论文针对一类具有完全超线性漂移和扩散系数的麦凯恩-弗拉索夫SDE，建立了适定性、混沌传播性以及指数遍历性，其中扩散系数依赖于解的分布，通过卷积型核表示。论文提出了一种分裂步欧拉格式，具有1/2阶强收敛率和均方收缩性，即使在不假设可微性或非退化性条件下也适用。

ABSTRACT

We study a class of McKean--Vlasov Stochastic Differential Equations (MV-SDEs) with drifts and diffusions having super-linear growth in measure and space -- the maps have general polynomial form but also satisfy a certain monotonicity condition. The combination of the drift's super-linear growth in measure (by way of a convolution) and the super-linear growth in space and measure of the diffusion coefficient requires novel technical elements in order to obtain the main results. We establish wellposedness, propagation of chaos (PoC), and under further assumptions on the model parameters, we show an exponential ergodicity property alongside the existence of an invariant distribution. No differentiability or non-degeneracy conditions are required. Further, we present a particle system based Euler-type split-step scheme (SSM) for the simulation of this type of MV-SDEs. The scheme attains, in stepsize, the strong error rate $1/2$ in the non-path-space root-mean-square error metric and we demonstrate the property of mean-square contraction. Our results are illustrated by numerical examples including: estimation of PoC rates across dimensions, preservation of periodic phase-space, and the observation that taming appears to be not a suitable method unless strong dissipativity is present.

研究动机与目标

• 建立具有空间和测度上超线性增长的麦凯恩-弗拉索夫SDE的适定性，包括卷积型漂移和扩散系数。
• 证明相关粒子系统的混沌传播性，确保大数极限可由有限粒子系统良好逼近。
• 在额外耗散性假设下证明指数遍历性并证明不变分布的存在性，无需可微性或非退化性假设。
• 为模拟这些SDE开发一种分裂步欧拉型数值格式，具有1/2阶强收敛率和均方收缩性。
• 通过数值实验验证理论结果，包括混沌传播率、相空间保持性，以及在缺乏强耗散性时taming方法的局限性。

提出的方法

• 分析依赖于卷积核$f$和$f_{\rho}$的单调性条件，以控制测度和空间中对超线性增长的控制。
• 通过先验矩估计和在具有有限$m$阶矩（$m>2$）的过程的合适巴拿赫空间中的不动点论证，建立适定性。
• 通过有界SDE解的分布与粒子系统经验测度之间的Wasserstein距离，证明混沌传播性。
• 在漂移和扩散系数具有额外耗散性条件时，使用Lyapunov型论证推导出指数遍历性。
• 提出一种分裂步欧拉格式，通过解耦漂移和扩散更新以处理超线性增长，利用离散伊藤型估计分析其稳定性和收敛性。
• 通过证明该格式在时间步长内减少解之间期望平方距离，证明其具有均方收缩性，即使在扩散系数退化时也成立。

(a) Density with $X_{0}\sim\mathcal{N}(0,1)$

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有空间和测度上完全超线性漂移和扩散系数的麦凯恩-弗拉索夫SDE存在唯一的强解？
• RQ2 粒子系统逼近向大数极限收敛的机制如何？混沌传播率是多少？
• RQ3 对于此类SDE，是否可在不假设非退化扩散或系数可微性的情况下建立指数遍历性？
• RQ4 何种数值格式可确保对这些完全超线性MV-SDE实现1/2阶强收敛率和均方收缩性？
• RQ5 taming是否适用于此类SDE，还是强耗散性条件对稳定性至关重要？

主要发现

• 在温和的单调性和增长条件下，通过卷积型核依赖于分布的超线性漂移和扩散系数，建立了MV-SDE的适定性。
• 混沌传播性成立，其速率依赖于维度和粒子数，已在不同维度下通过数值实验验证。
• 在额外耗散性假设下证明了指数遍历性，意味着存在唯一的不变分布，并且收敛至该分布具有几何收敛速度。
• 所提出的分裂步欧拉格式在路径空间的均方根误差度量下实现了1/2阶强收敛率。
• 该格式表现出均方收缩性，即使在扩散系数退化时也能确保时间步长上的稳定性。
• 数值实验表明，除非存在强耗散性，否则taming方法无效，凸显了结构假设对数值稳定性的必要性。

(b) Strong error (rMSE)