[论文解读] Wendroff's theorem beyond consecutive degrees and related inverse spectral problems

K. Castillo, G. Gordillo-Núñez|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2026

Matrix Theory and Algorithms被引用 0

一句话总结

论文将 Wendroff 定理推广到实线和单位圆上的任意非常数多项式，证明严格夹对（interlacing）是欠定两谱问题可解性的必要且充分条件，并给出重构程序与示例。

ABSTRACT

A classical theorem of Wendroff shows that one may reconstructs a sequence of orthogonal polynomials on the real line from two non-constant polynomials of consecutive degrees whose zeros strictly interlace on the real line. In this note we extend this result to arbitrary non-constant polynomials. The reconstruction may be formulated via a Vandermonde-type linear system and recast as an underdetermined inverse spectral problem, in which the spectra of a finite Jacobi matrix and of one of its leading principal submatrices are prescribed. In addition, the analogous result on the unit circle is established by reconstructing a sequence of paraorthogonal polynomials from two arbitrary non-constant polynomials whose zeros strictly interlace on the unit circle. In this setting, the Jacobi matrix is replaced by a finite unitary pentadiagonal matrix, and the spectral data consist of the spectrum of the full matrix together with that of a rank-one perturbation of a leading principal submatrix. Strict interlacing of zeros is shown to be a necessary and sufficient condition for solvability, and explicit constructions of the associated polynomial families and matrices are provided. Finally, an algorithm and several illustrative examples are presented.

研究动机与目标

• 在实数线和单位圆上将 Wendroff 定理推广至正交多项式的非连续阶数范围。
• 为 Jacobi 矩阵和单位五对角矩阵建立欠定的两谱问题。
• 确立欠定区间的可解性必要且充分的夹对条件。
• 提出并实现带有示例的显式重构方法与算法。
• 在正测度下将有限正交多项式理论与逆谱问题框架衔接起来。

提出的方法

• 将重构用 Vandermonde 型线性系统表示，并将其与一个欠定的逆谱问题联系起来。
• 利用 Gauss–Jacobi 权重积分和 Szegő 求积，将零点解释为带正权的积分点（引理 2.1 和 2.2）。
• 通过零点的严格夹对来表征可解性，并用通过 Vandermonde 系统求解的正权来描述解集（引理 3.1–3.3）。
• 通过 paraorthogonal 多项式和单位五对角矩阵将实线结果转译到单位圆情境，谱与边界参数与 POPUC 与 Verblunsky 数据相联系。
• 给出明确的重构算法，并在两种情境下给出说明性示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 m<n-1 时，给定的实线两个已指定零集何种条件下可以实现为 degree-n 和 degree-m 正交多项式的零点？
• RQ2 单位圆类比的 Wendroff 的两谱问题在 paraorthogonal 多项式与单位五对角矩阵中的表现如何？
• RQ3 在欠定区间，严格夹对的必要性是否也为充分性？
• RQ4 如何从给定的夹对数据构造相关的 Jacobi 或单位矩阵及多项式族？
• RQ5 重构算法是什么，哪些示例能展示该方法？

主要发现

• 两组预设零集之间的严格夹对性是可解性的必要条件。
• 在欠定区间（m<n-1），对于实线两谱问题和单位圆 POPUC 情形，严格夹对性也是充分性条件。
• 存在一个 Vandermonde 型线性系统，其正解对应可实现规定零点的加权数，从而得到 Jacobi 或单位五对角实现。
• 提供了相关多项式族与矩阵的显式构造。
• 论文给出一个重构算法及若干具有说明性的示例。