[论文解读] Weyl asymptotics of the transmission eigenvalues for a constant index of refraction

Ha Pham, Plamen Stefanov|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文建立了在常数折射率球体中实数和复数内部传输本征值（ITEs）计数函数的Weyl型渐近公式。通过球谐函数分解和贝塞尔函数分析，证明了ITEs的数量渐近增长为 $ \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} r^n \int_\Omega |1 - m^{n/2}| \, dx $（实数ITEs）以及复数ITEs的类似公式，确认了在径向对称、常数折射率情况下预期的Weyl定律行为。

ABSTRACT

We prove Weyl type of asymptotic formulas for the real and the complex internal transmission eigenvalues when the domain is a ball and the index of refraction is constant.

研究动机与目标

• 在最简单非平凡情形下——即常数折射率球体中——推导内部传输本征值（ITEs）计数函数的精确渐近公式。
• 解决长期存在的问题：在该对称情形下，Weyl定律是否控制实数与复数ITEs的分布？
• 通过分析散射矩阵和球谐分解中贝塞尔函数的零点，建立ITEs的渐近增长速率。
• 阐明内部传输本征值与全空间中传输本征值之间的区别，表明并非所有ITEs都是TEs。

提出的方法

• 利用变量分离法将内部传输问题分解为球谐模式，将问题约化为径向变量的常微分方程。
• 在球谐基下分析散射矩阵，将其对角元素表示为贝塞尔函数 $ j_\nu $ 和汉克尔函数 $ h_\nu^{(1,2)} $ 的形式。
• 将传输本征值识别为由散射矩阵行列式导出的函数 $ F_\nu(\lambda) $ 的零点，其依赖于折射率 $ m = \gamma^2 $。
• 利用相对散射振幅 $ A_l(\lambda) = S_l(\lambda) - 1 $，其零点对应ITEs，并将几何重数与球谐空间的维数联系起来。
• 应用微局部与半经典分析技术，控制本征值的分布，并推导计数函数的上下界。
• 证明实数ITEs的计数函数 $ N(r) $ 满足Weyl型渐近式：$ N(r) \sim \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} r^n \int_\Omega |1 - m^{n/2}| \, dx $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当区域为球体且折射率恒定时，Weyl定律是否控制实数内部传输本征值的渐近分布？
• RQ2 在相同条件下，复数内部传输本征值在复平面某扇形区域内的数量的精确渐近增长速率为何？
• RQ3 ITEs的几何重数与代数重数如何与散射矩阵及球谐分解的结构相关联？
• RQ4 能否通过贝塞尔函数零点，用折射率与区域体积表达ITEs的计数函数？
• RQ5 所有内部传输本征值是否也都是全空间中的传输本征值，还是可能存在差异？

主要发现

• 实数内部传输本征值的计数函数 $ N(r) $ 满足Weyl渐近式：$ N(r) \sim \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} r^n \int_\Omega |1 - m^{n/2}| \, dx $，证实了预期的Weyl定律行为。
• 对于复数内部传输本征值在扇形区域 $ |\arg \lambda| \leq \theta $ 内，计数函数 $ N(\theta, r) $ 满足 $ N(\theta, r) \leq \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} r^{n/2} \int_\Omega (1 + m^{n/2}) \, dx + O(r^{n-1-\epsilon}/2) $，与已知的精确界限一致。
• 每个ITE $ \lambda $ 的几何重数等于散射矩阵 $ A(\lambda) $ 的核的维数，该维数有限且与球谐模式 $ l $ 相关。
• 本文构造了一个例子，其中存在ITE但不是全空间中的传输本征值，表明ITEs不总是TEs。
• 实数ITEs的渐近公式是精确的，与Lakshtanov和Vainberg先前建立的下界一致，确认了正确的幂律与系数。
• 分析证实，由 $ A^{-1}(\lambda) $ 的洛朗展开产生的ITE $ \lambda_0 $ 的代数重数至多为 $ \mu(l) $，即对应阶数 $ l $ 的球谐空间的维数。