[论文解读] WEYL FAMILIES OF ESSENTIALLY UNITARY PAIRS

Rytis Juršėnas|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用 1

一句话总结

该论文将Weyl族理论扩展至Krein空间中的本质酉边界对，证明此类边界对的Weyl族成员的闭包属于Nevanlinna类 eR(H)。关键结果表明，本质酉边界对的有界Weyl函数属于类 R[H]，推广了已知的酉边界对结果，并表明非酉但本质酉的边界对可产生与酉对相同的Weyl函数。

ABSTRACT

It is known that the Weyl families corresponding to unitary boundary pairs $(\mathcal{H},Γ)$ belong to the class $ ilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ of Nevanlinna families. Here we extend the theorem to the case of essentially unitary boundary pairs by showing that the closures of members of the Weyl families belong to the class $ ilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$. Thus bounded Weyl functions of essentially unitary boundary pairs are of class $\mathcal{R}[\mathcal{H}]$.

研究动机与目标

• 将已知结果（即酉边界对的Weyl族属于Nevanlinna类 eR(H)）推广至本质酉边界对的情形。
• 研究Krein空间中本质酉关系相关的Weyl族的结构与性质。
• 确定本质酉边界对的Weyl函数所属的函数类，特别是在线性有界性假设下。
• 证明非酉（但本质酉）边界对可实现此前仅与酉边界对关联的Weyl函数。
• 建立Weyl函数属于 uniformly strict Nevanlinna 函数子类 Ru[H] 的条件。

提出的方法

• 通过Krein空间伴随 Γ[∗] 和Green恒等式，定义并分析 JH-空间之间等距及本质酉线性关系 Γ。
• 将Weyl族 MΓ(z) 定义为从预解集到 H 上有界算子的映射，通过限制关系 Γ 到广义特征子空间得到。
• 证明对于本质酉 Γ，其伴随满足 MΓ(z)∗= MΓ(z)，这是 Nevanlinna 族的关键性质。
• 利用 MΓ(z) 的闭包性质及 Γ 本质酉的条件，借助酉 Γ 的已知结果，证明该族属于 eR(H)。
• 应用边界三元组与广义边界对的理论，构造显式例子并验证Weyl函数的性质。
• 利用条件 ran Γ = H2 推出Weyl函数属于 uniformly strict Nevanlinna 函数的子类 Ru[H]。

实验结果

研究问题

• RQ1 与本质酉边界对相关的Weyl族是否属于 Nevanlinna 类 eR(H)？
• RQ2 本质酉边界对的有界Weyl函数能否被表征为属于类 R[H]？
• RQ3 是否存在非酉边界对可产生与酉边界对相同的Weyl函数？
• RQ4 在何种条件下，本质酉边界对的Weyl函数属于子类 Ru[H]？
• RQ5 Krein空间伴随与Green恒等式如何影响本质酉情形下Weyl族的结构？

主要发现

• 对于本质酉边界对 (H, Γ)，Weyl族 MΓ(z) 的闭包属于 Nevanlinna 类 eR(H)。
• 当对所有 z ∈C∗ 有 MΓ(z) 有界时，Weyl函数 MΓ 属于 Nevanlinna 函数的子类 R[H]。
• 在例子中，Weyl函数 MΓ(z) = R(z) 满足 MΓ ∈ Rs[H]，即正则 Nevanlinna 函数的子类。
• 在附加假设 ran Γ = H2 下，Weyl函数 MΓ 属于 uniformly strict Nevanlinna 函数的子类 Ru[H]。
• 对 (H, Γ) 是 A∗ 的本质酉边界三元组，且 Weyl函数 MΓ(z) = R(z) 通过广义边界三元组实现。
• 证明表明，对本质酉 Γ 有 MΓ(z)∗= MΓ(z)，通过伴随结构确认了 Nevanlinna 性质。