[论文解读] Weyl function of a Hermitian operator and its connection with characteristic function

Vladimir Derkach, M. M. Malamud|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用 13

一句话总结

本文通过抽象边界三元组和第二格林公式，提出了一种关于厄米特算子特征算子函数的新方法，建立了威尓函数与特征函数之间的直接联系。主要贡献在于证明了威尓函数作为克雷因与朗格意义下的$Q$-函数，可唯一确定几乎可解扩张的谱性质，并为具有奇异边界区域的微分算子和拉普拉斯算子推导出显式公式。

ABSTRACT

Let $A$ be a densely defined symmetric operator with equal deficiency indices in a Hilbert space. We introduce the notion of a Weyl function $M(z)$ of $A$ corresponding to an ordinary boundary triplet of the operator $A^*$ and then investigate its basic properties. In particular, a connection with Krein-Langer Q-functions and Krein's type formula for resolvents is discovered. Using this new connection, we show that the resolvent comparability of two proper extensions is equivalent to that of the corresponding boundary operators. Moreover, we show that the number of negative eigenvalues of a self-adjoint extension $A_B=A_B^*$ of a non-negative operator $A$ equals the number of negative eigenvalues of $B-M(0-)$, where $B$ is the boundary operator of $A_B$ and $M(0-)$ is the left limit of the Weyl function at zero. Also, we introduce the class of almost solvable extensions of $A$. A characteristic function (in the sense of A. V. Shtraus) of an almost solvable extension is expressed by means of the Weyl function and the corresponding boundary operator. Analytic properties of characteristic functions are completely characterized. The main results are applied to ordinary differential operators, Sturm-Liouville operators with unbounded operator potentials, Shrödinger operators and Laplacians on domains with a non-smooth boundary. These results were substantially elaborated and published later in the following papers: 1. V.A. Derkach and M.M. Malamud, Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps, J. Funct. Anal. 95 (1991), 1-95. 2. --- Characteristic functions of almost solvable extensions of a Hermitian operators, Ukr. Mat. Zh. 44 (1992), 435-459. 3. --- The extension theory of Hermitian operators and the moment problem, J. Math. Sci. 73 (1995), 141-242.

研究动机与目标

• 通过抽象边界三元组，为对称算子的特征算子函数建立一种更新颖、更自然的框架。
• 阐明威尓函数作为$Q$-函数的角色，及其对几乎可解扩张的谱决定作用。
• 在各种微分算子中建立威尓函数与特征函数之间的统一联系。
• 为具有奇异边界（如内角或奇异势场）的区域提供威尓函数与特征函数的显式表达式。

提出的方法

• 为对称算子$A^*$的伴随算子引入边界三元组$\{\mathcal{H}, \Gamma_0, \Gamma_1\}$的概念，满足抽象格林恒等式与满射性。
• 通过$M(z)\Gamma_0 f_z = \Gamma_1 f_z$（其中$f_z \in \mathfrak{N}_z$）定义威尓函数$M(z)$，表明其为全纯函数且属于$R_\mathcal{H}$类。
• 证明$M(z)$在克雷因与朗格意义下为$Q$-函数，当$A$为单个算子时，可唯一确定对$\{A, A_0\}$（至酉等价）。
• 利用抽象第二格林公式定义威尓函数并推导其性质，包括全纯性与虚部的正定性。
• 将该框架应用于具有有界或无界系数的微分算子，以及具有分段光滑或奇异边界区域的薛定谔算子与拉普拉斯算子。
• 在特定情形下推导出威尓函数与特征函数的显式表达式，例如在楔形区域中拉普拉斯算子的$M(z) = C_\beta z^\beta$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过边界三元组与抽象第二格林公式重新定义特征算子函数，以获得更自然且更一般的框架？
• RQ2 威尓函数$M(z)$与几乎可解扩张的特征函数$\Theta(z)$之间的确切关系是什么？
• RQ3 威尓函数$M(z)$在何种条件下属于史蒂尔杰斯类，这与负谱的有限性有何关联？
• RQ4 如何显式计算具有奇异系数或具有奇异几何结构（如角点或尖点）区域的微分算子的威尓函数？
• RQ5 威尓函数如何对自伴扩张进行谱表征，特别是关于弗里德里希斯扩展与克雷因扩展？

主要发现

• 威尓函数$M(z)$在克雷因与朗格意义下为$Q$-函数，属于$(R_\mathcal{H})$类，当$A$为单个算子时，可唯一确定对$\{A, A_0\}$（至酉等价）。
• 对于角度为$\pi/\beta$的楔形区域中的拉普拉斯算子，威尓函数显式表示为$M(z) = C_\beta z^\beta$，其中$C_\beta = \exp(-i\beta\pi)4^{-\beta}\Gamma(1-\beta)/\Gamma(1+\beta)$。
• 具有定义域$\ker(\Gamma_1 - C_\beta h \Gamma_0)$的扩张$L_h$的特征函数为$\Theta(z) = \frac{z^\beta + h}{z^\beta + \bar{h}}$，将谱参数与边界条件联系起来。
• 弗里德里希斯扩展对应于$\ker\Gamma_0$，克雷因扩展对应于$\ker\Gamma_1$，且$M(0) = 0$确保后者定义良好。
• 对于非负算子，建立了$M(z)$属于史蒂尔杰斯类$(S)$的判据，将正定性与单调性与谱性质联系起来。
• 在半直线上阶为$2n$的最小微分算子情形，威尓函数$M(z)$与某一自伴扩张的特征矩阵一致，推广了经典结果。