[论文解读] Weyl Group Invariants and Application to Spherical Harmonic Analysis on Symmetric Spaces

Joseph A. Wolf, Wolf, Joseph A.|ArXiv.org|Jan 29, 2009

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文建立了在经典李群的对称空间中，从较大空间到较小空间的 Weyl 群不变多项式限制映射的满射性准则，特别关注较大代数是较小代数的延拓的情形。关键结果通过 $G_\infty$-等变的希尔伯特空间完备化，将有限维的 Paley–Wiener 定理推广至紧致对称空间的无限维直接极限。

ABSTRACT

Polynomial invariants are fundamental objects in analysis on Lie groups and symmetric spaces. Invariant differential operators on symmetric spaces are described by Weyl group invariant polynomial. In this article we give a simple criterion that ensure that the restriction of invariant polynomials to subspaces is surjective. We apply our criterion to problems in Fourier analysis on projective/injective limits, specifically to theorems of Paley--Wiener type.

研究动机与目标

• 建立从较大对称空间到较小对称空间的 Weyl 群不变多项式限制映射保持满射的条件。
• 将有限维 Paley–Wiener 定理推广至紧致对称空间的无限维直接极限。
• 构造直接极限空间 $M_\infty$ 上正则函数的 $G_\infty$-等变希尔伯特空间完备化。
• 通过引入新的预希尔伯特空间结构，重新定义函数空间结构，以解决直接系统中球函数与部分等距算子之间的不匹配问题。
• 证明在由延拓关联的对称空间直接系统中，解析性半径保持恒定，从而在 Paley–Wiener 定理中实现统一的紧支集条件。

提出的方法

• 通过 Dynkin 图扩展，引入李代数 $\mathfrak{g}_k$ 是 $\mathfrak{g}_n$ 的延拓的概念，确保根系类型相同且仅在左端增加秩。
• 定义扩展的 Weyl 群 $\widetilde{W}(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$，以包含类型 $D$ 代数的奇数符号变化，确保在限制下保持相容性。
• 证明在经典情形下，$\widetilde{W}(\mathfrak{g}_k,\mathfrak{h}_k)$-不变多项式在限制到 $\widetilde{W}(\mathfrak{g}_n,\mathfrak{h}_n)$-不变多项式时是满射的。
• 利用 $G_n$-等变的部分等距算子并进行缩放，构造希尔伯特空间直接系统 $\{L^2(M_n), L_{m,n}\}$ 以保持酉性。
• 通过满足与直接系统映射可交换的映射 $\eta_{n,\mu}$，在直接极限的正则函数空间 $\mathcal{A}(M_\infty)$ 上定义新的预希尔伯特空间结构。
• 建立 $G_\infty$-等变的等距嵌入 $\widetilde{\eta}: \mathcal{A}(M_\infty) \to L^2(M_\infty)$，其像在 $L^2(M_\infty)$ 中稠密，从而将 $\mathcal{A}(M_\infty)$ 完备化为 $L^2(M_\infty)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mathfrak{g}_k$ 是 $\mathfrak{g}_n$ 的延拓时，$W$-不变多项式从 $\mathfrak{h}_k$ 到 $\mathfrak{h}_n$ 的限制在何种条件下是满射的？
• RQ2 如何将 Paley–Wiener 定理从有限维紧致对称空间推广至其无限维直接极限？
• RQ3 为何标准的部分等距算子 $L_{m,n}$ 在限制下无法保持球函数不变，以及如何修正此问题？
• RQ4 扩展的 Weyl 群 $\widetilde{W}(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 在延拓下确保不变量相容性方面起何作用？
• RQ5 在由延拓构成的对称空间直接系统中，解析性半径的行为如何？这对傅里叶分析中的支集条件有何含义？

主要发现

• 在经典李代数中，若 $\mathfrak{g}_k$ 是 $\mathfrak{g}_n$ 的延拓，则 $\widetilde{W}(\mathfrak{g}_k,\mathfrak{h}_k)$-不变多项式在限制到 $\widetilde{W}(\mathfrak{g}_n,\mathfrak{h}_n)$-不变多项式时是满射的，但类型 $D$ 情形需依赖扩展的 Weyl 群。
• 在由延拓关联的紧致对称空间直接系统中，解析性半径保持恒定，从而在 Paley–Wiener 定理中可实现统一的支集大小条件。
• 球函数 $\psi_{I,n}$ 不通过标准部分等距算子 $L_{m,n}$ 前向映射，即 $L_{m,n}(\psi_{I,n}) \neq \psi_{I,m}$，原因在于缩放操作及未能保持 $K_n$-不变性。
• 希尔伯特空间直接系统 $\{L^2(M_n), L_{m,n}\}$ 与正则函数直接系统 $\{\mathcal{A}(M_n), \nu_{m,n}\}$ 通过包含 $\eta_{n,\mu}$、$\nu_{m,n,\mu}$ 和 $L_{m,n,\mu}$ 的交换图保持相容。
• 映射 $\widetilde{\eta}: \mathcal{A}(M_\infty) \to L^2(M_\infty)$ 是一个 $G_\infty$-等变的等距嵌入，其像在 $L^2(M_\infty)$ 中稠密，因此 $L^2(M_\infty)$ 是 $\mathcal{A}(M_\infty)$ 的希尔伯特空间完备化。
• 在 $L^2(M_\infty)$ 上，$G_\infty$ 的左正则表示是不可约表示 $\pi_I = \varinjlim \pi_{I,n}$ 的无重数离散直和，其最高权为 $\xi_I = \sum k_r \xi_r$。