[论文解读] Weyl laws for manifolds with hyperbolic cusps

Yannick Guedes Bonthonneau|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 8

一句话总结

该论文在三种动力学假设下——一般情况、无周期测地线流、无共轭点——建立了具有精确双曲截面的黎曼流形上谱计数函数的威尔型渐近律。论文推导出与紧致流形理论相匹配的精确余项，并在通用性条件下将塞尔伯格的共振计数结果推广至非恒定负曲率度量，方法基于散射理论与马阿斯-塞尔伯格关系。

ABSTRACT

We give Weyl-type estimates on the natural spectral counting function for manifolds with exact hyperbolic cusps. We treat three different cases: without assumption on the compact part, assuming that periodic geodesics form a measure-zero set, and assuming the curvature is negative. In each case, we obtain the same type of remainder as in the corresponding case in the context of compact manifolds. We also investigate the counting of resonances. In particular, we extend results of Selberg to the case of non-constant, negative curvature metrics, under a genericity assumption.

研究动机与目标

• 将威尔定律渐近性扩展至具有双曲截面的非紧致流形，其谱包含离散与连续两部分。
• 在测地线流的不同动力学假设下分析谱计数函数 $\widetilde{N}(\lambda)$：一般情况、无周期性、无共轭点。
• 在通用性假设下，将塞尔伯格对双曲曲面的共振计数结果推广至高维非恒定负曲率度量。
• 为 $\widetilde{N}(\lambda)$ 建立精确余项估计，使其与已知的紧致流形结果一致。
• 利用散射理论与马阿斯-塞尔伯格关系，推导散射行列式分解与散射相位的迹公式。

提出的方法

• 通过艾森斯坦级数与预解式 $\mathcal{R}(s)$（在 $\mathbb{C}$ 上亚纯）将谱测度分解为离散本征求解与连续谱。
• 定义计数函数 $\widetilde{N}(\lambda) = N_{pp}(\lambda) - \Psi(\lambda)$，其中 $N_{pp}(\lambda)$ 计数低于 $d^2/4 + \lambda^2$ 的离散本征值，$\Psi(\lambda)$ 为散射相位。
• 证明 $\widetilde{N}'(\lambda)$ 的傅里叶变换的奇点支撑包含于周期测地线的代数长度中，将查扎赖恩的结果推广至截面流形。
• 为截断艾森斯坦级数 $G_\ell^\tau(s)$ 推导马阿斯-塞尔伯格公式，得到包含 $\phi(s)$（散射矩阵）的矩阵值恒等式。
• 通过多项式 $Q(s)$ 与 $\varphi(s)$ 的零点对散射行列式 $\varphi(s)$ 进行因式分解，从而导出散射相位导数 $\Psi'(\lambda)$ 的表达式。
• 计算截断谱测度的迹 $\operatorname{Tr}V(d/2 + i\lambda, \tau)$，得到涉及 $\tau$、$\phi(s)$ 与 $\phi'(s)$ 的公式，该公式与散射相位及共振计数相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在测地线流的不同动力学假设下，具有双曲截面的流形上谱计数函数 $\widetilde{N}(\lambda)$ 的威尔型渐近行为如何？
• RQ2 在通用性条件下，塞尔伯格对双曲曲面的共振计数结果能否推广至高维非恒定负曲率度量？
• RQ3 当周期测地线集合测度为零时，$\widetilde{N}(\lambda)$ 的威尔定律中精确余项是什么？
• RQ4 散射相位 $\Psi(\lambda)$ 如何与谱计数函数及共振分布相关联？
• RQ5 散射行列式 $\varphi(s)$ 的结构是什么？其因式分解如何影响谱与共振的渐近行为？

主要发现

• 对于具有 $\kappa$ 个截面且无额外假设的流形，谱计数函数满足 $\widetilde{N}(\lambda) = \frac{\operatorname{vol}B^\ast M}{(2\pi)^{d+1}}\lambda^{d+1} - \frac{\kappa}{\pi}\lambda\log\lambda + \mathcal{O}(\lambda^d)$。
• 在无周期性假设下（周期测地线集合测度为零），余项改善为 $\widetilde{N}(\lambda) = \frac{\operatorname{vol}B^\ast M}{(2\pi)^{d+1}}\lambda^{d+1} - \frac{\kappa}{\pi}\lambda\log\lambda + \frac{\kappa(1 - \log 2)}{\pi}\lambda + o(\lambda^d)$。
• 在无共轭点假设下，获得与无周期性情况相同的余项结构，与紧致流形情况一致。
• 散射相位导数为 $2\pi\Psi'(\lambda) = iQ'(d/2 + i\lambda) + \sum_{z \text{ zero}} \frac{d - 2\Re z}{(d - \Re z/2)^2 + (\lambda - \Im z)^2}$，其中求和项为负。
• 散射行列式 $\varphi(s)$ 具有因式分解形式 $\varphi(s) = \varphi(d/2)e^{iQ(s)}\prod_z \frac{s - z}{s - d + \overline{z}}$，其中 $Q(s)$ 在 $\Re s = d/2$ 上为实数，且 $Q(s) + Q(d - s)$ 为常数。
• 截断艾森斯坦级数的马阿斯-塞尔伯格公式给出 $V(s,\tau) = \frac{e^{2i\Im s\tau}\phi^\ast(s) - e^{-2i\Im s\tau}\phi(s)}{2i\Im s} + \frac{e^{(2\Re s - d)\tau} - e^{(d - 2\Re s)\tau}\phi\phi^\ast(s)}{2\Re s - d}$，该式用于推导估计与迹恒等式。