[论文解读] Weyl matrix functions and inverse problems for discrete Dirac type self-adjoint system: explicit and general solutions

Bernd Fritzsche, Bernd Kirstein+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文通过Weyl矩阵函数，为离散Dirac型自伴系统中的反问题提供了显式且通用的解法。建立了Borg-Marchenko型唯一性结果，并将该系统与块Toeplitz矩阵及Szegö递推联系起来，通过区间和半轴上的Weyl函数，构建了完整的重构框架。

ABSTRACT

Discrete Dirac type self-adjoint system is equivalent to the block Szegö recurrence. Representation of the fundamental solution is obtained, inverse problems on the interval and semi-axis are solved. A Borg-Marchenko type result is obtained too. Connections with the block Toeplitz matrices are treated.

研究动机与目标

• 通过Weyl矩阵函数求解离散Dirac型自伴系统的直接问题与反问题。
• 在半轴上建立Borg-Marchenko型唯一性结果。
• 将系统与块Toeplitz矩阵及矩阵值Szeg€o递推联系起来。
• 为伪指数型势（有理Weyl函数）提供显式解，为非有理情形提供通解。
• 通过矩阵函数类与正定条件，刻画单位圆盘和上半平面上的Weyl函数。

提出的方法

• 通过矩阵变换与转移矩阵函数，推导离散Dirac系统基本解的表示式。
• 将Weyl函数作为直接问题与反问题的核心对象，将其与系统的谱数据相联系。
• 在伪指数型势情形下，通过显式公式构造基本解的解。
• 应用J-理论与广义预解式理论，刻画单位圆盘与上半平面上的Weyl函数。
• 利用矩阵正定条件与块Toeplitz矩阵结构，从其Weyl函数重构系统。
• 通过矩阵变换与系数识别，建立离散Dirac系统与块Szeg€o递推之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有有理Weyl函数的离散Dirac型自伴系统反问题构造显式解？
• RQ2 在半轴上，何种条件可确保由其Weyl函数唯一重构系统？
• RQ3 单位圆盘与上半平面上的Weyl函数如何与系统的谱数据相关联？
• RQ4 离散Dirac系统与块Toeplitz矩阵及矩阵值Szeg€o递推之间存在何种联系？
• RQ5 对应于正定系数系统的Weyl函数具有何种刻画特征？

主要发现

• 在区间与半轴上，反问题可通过Weyl函数唯一求解，且定理5.3中提供了构造性过程。
• 对于有理Weyl函数（即伪指数型势）的情形，直接问题与反问题的显式解均被导出。
• 建立了Borg-Marchenko型唯一性结果：Weyl函数唯一确定半轴上的系统。
• 半轴上的Weyl函数被刻画为嵌套矩阵函数类的交集，从而保证唯一性。
• 满足Toeplitz矩阵 $\bigl\{s_{j-k}\bigr\}_{k,j=0}^{N}$ 上正定条件的矩阵函数，被证明是该系统的Weyl函数。
• 通过转移矩阵函数与保正变换的程序，可完全从其Weyl函数恢复系统。