[论文解读] Weyl modules, Demazure modules and finite crystals for non-simply laced type

Katsuyuki Naoi|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文证明了非单连通李代数的当前代数的Weyl模具有一个滤链，其逐次商模同构于Demazure模，并且零权基本表示张量积的路径模型同构于Demazure晶体的不相交并。关键贡献在于证明了这两种结构中出现的Demazure模完全一致，将已知的单连通情形结果推广到了非单连通类型，如B_n、C_n、F_4和G_2。

ABSTRACT

We show that every Weyl module for a current algebra has a filtration whose successive quotients are isomorphic to Demazure modules, and that the path model for a tensor product of level zero fundamental representations is isomorphic to a disjoint union of Demazure crystals. Moreover, we show that the Demazure modules appearing in these two objects coincide exactly. Though these results have been previously known in the simply laced case, they are new in the non-simply laced case.

研究动机与目标

• 将已知的单连通情形下Weyl模与Demazure模之间的同构关系，推广到非单连通李代数。
• 在非单连通情形下，建立Weyl模的滤链，其逐次商模为Demazure模。
• 证明零权基本表示张量积的路径模型同构于Demazure晶体的不相交并。
• 证明在Weyl模滤链和路径模型中出现的Demazure模完全一致。
• 通过将费米子形式与一维和联系起来，为非单连通当前代数中的$X=M$猜想提供证据。

提出的方法

• 利用短根子系统$\mathfrak{g}^{\mathrm{sh}}$的Demazure模结构，构造当前代数$\mathcal{C}\mathfrak{g}_d$-模的Weyl模$W(\lambda)$的滤链。
• 利用Joseph关于$\mathcal{D}^{\mathrm{sh}}(1,\overline{\lambda})[0]$具有由$\mathcal{D}^{\mathrm{sh}}(r,\nu_i)[m_i]$构成的滤链的结果，将该滤链提升到整个当前代数。
• 应用晶体理论，特别是路径模型和Demazure晶体，验证逐次商模与Demazure模之间的同构性。
• 依赖于$W(\lambda)$的晶体基与路径模型$\mathbb{B}(\lambda)_{\mathrm{cl}}$之间的同构关系，关联重数生成函数。
• 利用等式$W(\varpi_i) \cong \mathrm{KR}(\varpi_i)$将Weyl模识别为Kirillov-Reshetikhin模，并与费米子形式建立联系。
• 结合关于格子字符和晶体上度函数的结果，证明恒等式$[W(\lambda):V_{\mathfrak{g}}(\mu)]_{q^{-1}} = \sum_{\eta} q^{\mathrm{Deg}(\eta)}$，在极值路径上成立，从而确认了$X=M$猜想的一个特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 非单连通当前代数的Weyl模能否被Demazure模滤链化，从而推广单连通情形下的已知同构？
• RQ2 在Weyl模滤链中出现的Demazure模是否与零权基本表示张量积的路径模型中出现的Demazure模完全一致？
• RQ3 在非单连通情形下，零权基本表示张量积的路径模型是否同构于Demazure晶体的不相交并？
• RQ4 能否通过费米子形式与一维和之间的联系，在非单连通类型中验证$X=M$猜想的一个特例？
• RQ5 非单连通代数的Weyl模结构与单连通情形相比有何不同，特别是在滤链结构和Demazure模构成方面？

主要发现

• 非单连通当前代数$\mathcal{C}\mathfrak{g}_d$的Weyl模$W(\lambda)$ admits一个$\mathcal{C}\mathfrak{g}_d$-模滤链，其逐次商模同构于Demazure模$\mathcal{D}(1,\mu_i)[m_i]$。
• 在Weyl模滤链中出现的Demazure模与在零权基本表示张量积的路径模型中出现的Demazure模完全相同。
• 路径模型$\mathbb{B}(\lambda)_{\mathrm{cl}}$同构于Demazure晶体的不相交并，确认了表示理论与晶体组合学之间的结构性联系。
• 费米子形式$M(W_{\mathbf{i}},\mu,q)$在度数平移下等于一维和$X(\mathcal{B}_{\mathbf{i}},\mu,q)$，且两者均等于格子重数$[W(\lambda):V_{\mathfrak{g}}(\mu)]_{q^{-1}}$，从而验证了$X=M$猜想的一个特例。
• 当$\lambda = \sum \varpi_{i_j}$时，Weyl模$W(\lambda)$同构于融合积$\mathrm{KR}(\varpi_{i_1})_{c_1} * \cdots * \mathrm{KR}(\varpi_{i_\ell})_{c_\ell}$，将Weyl模与Kirillov-Reshetikhin模联系起来。
• 恒等式$[W(\lambda):V_{\mathfrak{g}}(\mu)]_{q^{-1}} = \sum_{\eta} q^{\mathrm{Deg}(\eta)}$在满足$\tilde{e}_j\eta = \mathbf{0}$且$\eta(1) = \mathrm{cl}(\mu)$的极值路径$\eta$上成立，通过晶体度函数建立了字符层面的恒等式。