[论文解读] Weyl variations and local sufficiency of linear observers in the mean square optimal coherent quantum filtering problem

Igor G. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过使用观测器哈密顿量和耦合算符的威利变分法，推导了均方最优一致量子滤波（CQF）问题的一阶最优性条件。证明了若一个线性量子观测器在所有线性观测器中是最优的，则其在非线性威利扰动下仍保持平稳，从而在更广泛的非线性观测器类中确立了线性观测器的局部充分性，适用于线性量子系统。

ABSTRACT

This paper is concerned with the coherent quantum filtering (CQF) problem, where a quantum observer is cascaded in a measurement-free fashion with a linear quantum plant so as to minimize a mean square error of estimating the plant variables of interest. Both systems are governed by Markovian Hudson-Parthasarathy quantum stochastic differential equations driven by bosonic fields in vacuum state. These quantum dynamics are specified by the Hamiltonians and system-field coupling operators. We apply a recently proposed transverse Hamiltonian variational method to the development of first-order necessary conditions of optimality for the CQF problem in a larger class of observers. The latter is obtained by perturbing the Hamiltonian and system-field coupling operators of a linear coherent quantum observer along linear combinations of unitary Weyl operators, whose role here resembles that of the needle variations in the Pontryagin minimum principle. We show that if the observer is a stationary point of the performance functional in the class of linear observers, then it is also a stationary point with respect to the Weyl variations in the larger class of nonlinear observers.

研究动机与目标

• 将一致量子滤波的最优性分析从线性观测器扩展至包含非线性扰动的情形。
• 解决现有变分方法仅限于线性控制器的局限性，无法评估非线性设计可能带来的性能增益。
• 确立线性观测器是否在考虑更广泛非线性观测器类时，仍为局部最优。
• 应用横向哈密顿量变分法，推导更广泛能量算符扰动类中的最优性必要条件。
• 研究威利算符在作为经典最优控制中“针状变分”量子类比中的作用。

提出的方法

• 采用横向哈密顿量方法，计算性能泛函关于观测器能量算符扰动的盖脱劳导数。
• 应用威利变分——单位酉威利算符的线性组合——来扰动观测器的哈密顿量和系统-场耦合算符。
• 利用系统变量的拟多项式在真空态下的高斯平均，计算涉及威利算符的期望值。
• 通过分析盖脱劳导数在威利变分方向上消失的条件，推导出最优性的一阶必要条件。
• 依赖威利量化积分在高斯态上的积分微分恒等式，以简化期望计算。
• 使用赫德森-帕尔塔萨里亚普量子随机微积分，以马尔可夫、真空驱动框架建模线性量子系统与观测器的动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于线性量子系统，非线性量子观测器是否能在均方最优一致量子滤波问题中优于线性观测器？
• RQ2 在何种条件下，一个线性观测器不仅在所有线性观测器中是最优的，也在更广泛的非线性观测器类中是最优的？
• RQ3 如何将量子控制中的变分方法扩展至包含观测器能量算符的非线性扰动？
• RQ4 威利算符在生成类比于经典最优控制中“针状变分”的扰动中起什么作用？
• RQ5 在二次型扰动下保持平稳是否意味着在更一般的威利变分下也保持平稳？

主要发现

• 若一个线性一致量子观测器在所有线性观测器中是均方代价泛函的平稳点，则其在能量算符的任意威利变分下也保持平稳。
• 通过威利变分推导出的一阶必要条件成立，当且仅当满足线性-二次扰动下的平稳条件。
• 当线性观测器满足线性观测器最优性条件时，性能泛函的盖脱劳导数在所有威利变分方向上均消失。
• 横向哈密顿量方法使得在无需显式设计非线性观测器的前提下，推导出非线性扰动的敏感性信息成为可能。
• 该结果意味着线性观测器在威利变分意义下具有局部充分性，即通过附近非线性观测器无法实现性能提升。
• 该分析依赖于威利有序多项式的高斯平均，以及真空态上期望值的积分微分恒等式。