[论文解读] What an infra-nilmanifold endomorphism really should be

Karel Dekimpe|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文指出了经典的仿-nil流形自同态定义中的基础性缺陷，尤其针对Franks、Gromov和Manning等人的关键结果，这些结果依赖于Auslander的一个错误定理。本文提出应以更广泛的仿自同态类取代狭义的仿-nil流形自同态类，证明该类自同态在正确刻画仿-nil流形上的扩张映射和Anosov微分同胚方面是必要且充分的。

ABSTRACT

Infra-nilmanifold endomorphisms were introduced in the late sixties. They play a very crucial role in dynamics, especially when studying expanding maps and Anosov diffeomorphisms. However, in this note we will explain that the two main results in this area are based on a false result and that although we can repair one of these two theorems, there remains doubt on the correctness of the other one. Moreover, we will also show that the notion of an infra-nilmanifold endomorphism itself has not always been interpreted in the same way. Finally, we define a slightly more general concept of the notion of an infra-nilmanifold endomorphism and explain why this is really the right concept to work with.

研究动机与目标

• 识别并纠正L. Auslander的奠基性定理中的关键错误，该定理是仿-nil流形自同态理论的基石。
• 证明经典仿-nil流形自同态定义不足以捕捉扩张映射和Anosov微分同胚的动力学行为。
• 提出一个广义框架——仿自同态——作为研究仿-nil流形自同态的正确且更全面的概念。
• 表明尽管Gromov关于扩张映射的结论可通过仿自同态框架修复，但Manning关于Anosov微分同胚的结论在新框架下尚未在一般情形下得到证明。
• 澄清Hirsch原始定义与Franks和Shub后来错误解释之间的区别，并建立一致且正确的术语与理论体系。

提出的方法

• 分析仿-nil流形自同态定义的历史发展及其不一致性，特别对比Hirsch的原始定义与Franks的后期解释。
• 识别Auslander定理2的错误陈述与证明是文献中多个错误结论的根本原因。
• 引入仿自同态的概念，作为仿-nil流形自同态的推广，通过Aff(N) = N ⋊ Aut(N)在幂零李群N上的作用来定义。
• 利用fundamental group Γ ⊆ Nℚ ⋊ F 的有理实现，将自同构上拉并从Anosov微分同胚构造出双曲仿自同胚。
• 应用虚拟幂零fundamental group与holonomy group的理论，证明任何仿-nil流形都有限覆盖于一个-nil流形。
• 证明对于任何仿-nil流形上的Anosov微分同胚f，其某个正幂fⁿ通过Aff(N)中元素的共轭同伦于一个双曲仿-nil流形自同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何经典仿-nil流形自同态定义不足以捕捉扩张映射和Anosov微分同胚的动力学行为？
• RQ2 Auslander定理2的错误陈述如何破坏了仿-nil流形自同态理论中的关键结果？
• RQ3 能否通过采用比仿-nil流形自同态更广泛的映射类来修复仿-nil流形上扩张映射与Anosov微分同胚的理论？
• RQ4 每个仿-nil流形上的Anosov微分同胚是否都拓扑共轭于一个双曲仿自同胚？
• RQ5 在仿-nil流形上，能够表示所有自同态同伦类（尤其是动力系统情形）的正确且最广义的映射类是什么？

主要发现

• L. Auslander的奠基性结果（[1]中的定理2）在陈述与证明上均存在错误，导致Franks论文[7]及其应用中的关键结果失效。
• Franks与Shub所使用的仿-nil流形自同态经典定义与Hirsch的原始定义不等价，且导致错误结论。
• 仿自同态类——由Aff(N) = N ⋊ Aut(N)的元素诱导的映射——是研究仿-nil流形自同态的更广泛且更合适的框架。
• Gromov关于扩张映射拓扑共轭于仿-nil流形自同态的结论，可通过将狭义定义替换为仿自同态框架得以修复。
• 对于-nil流形，A. Manning关于Anosov微分同胚共轭于双曲自同态的结果依然成立，但其推广至仿-nil流形的情形尚未得到证明。
• 当且仅当其fundamental group允许一个双曲自同态时，一个仿-nil流形才允许Anosov微分同胚，且此类微分同胚在取有限幂后拓扑共轭于一个双曲仿自同胚。