[论文解读] What can quantum optics say about complexity theory
本文研究了在高斯输入下线性光学网络中采样输出光子计数分布的复杂性，表明热态导致输出概率与正定矩阵的永久值成正比——这在多项式层次的第三层内可经典模拟——而压缩真空态则导致近似问题为#P难，凸显了在高斯态玻色采样中量子优势的前沿。
Considering the problem of sampling from the output photon-counting probability distribution of a linear-optical network for input Gaussian states, we obtain new results that are of interest from both quantum theory and the complexity theory point of view. We derive a general formula for calculating the output probabilities. By considering input thermal states, we show that the output probabilities are proportional to permanents of positive definite Hermitian matrices. It is believed that approximating permanents of complex matrices in general is a #P-hard problem. However, we show that these permanents can be approximated with an algorithm within the third level of the polynomial hierarchy, as there exists an efficient classical algorithm for sampling from the output probability distribution. On the other hand, considering input squeezed-vacuum states, we show the output probabilities are proportional to a quantity which is, for at least a specific configuration, #P-hard to approximate.
研究动机与目标
- 分析具有高斯输入态的线性光学网络中采样输出光子分布的计算复杂性。
- 确定此类系统的输出概率是否可被经典高效模拟或难以处理。
- 阐明不同高斯态（热态与压缩真空态）在决定采样问题难度中的作用。
- 将量子光学形式体系与复杂性理论概念（尤其是永久值与#P完全性）联系起来。
提出的方法
- 推导出具有高斯输入的线性光学网络中计算输出光子计数概率的一般公式。
- 分析输入态为热态时的输出概率，表明其与正定厄米特矩阵的永久值成正比。
- 证明对于热态，存在一种高效的经典算法用于采样输出分布，从而将该问题置于多项式层次的第三层。
- 研究压缩真空态输入时的输出概率，揭示至少在一个配置下与#P难数量存在关联。
- 利用量子光学形式体系，包括Wigner函数和高斯态演化，推导概率表达式。
实验结果
研究问题
- RQ1具有高斯输入的线性光学网络的输出概率分布能否被经典高效采样？
- RQ2热态输入的输出概率是否与正定矩阵的永久值相关？若是，这种关联是否可在经典情况下处理？
- RQ3在这些网络中使用压缩真空态是否会导致#P难的采样问题？
- RQ4对特定配置的压缩真空态输入，近似输出概率的计算复杂性如何？
- RQ5从复杂性理论的难度角度看，热态与压缩真空态的结果有何比较？
主要发现
- 对于输入热态，输出概率与正定厄米特矩阵的永久值成正比，且可使用经典算法高效近似。
- 热态采样的经典可模拟性将该问题置于多项式层次的第三层。
- 对于输入压缩真空态，输出概率与一个至少在一个特定配置下#P难近似的量成正比。
- 本文在线性光学网络中建立了量子与经典复杂性的边界：热态可经典模拟，而压缩态则表现出潜在的量子优势。
- 结果表明，高斯输入态的选择从根本上改变了采样问题的计算复杂性，对玻色采样中的量子优势具有重要意义。
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