[论文解读] What Dimensions Do the Time and Space Have: Integer or Fractional?

L. Ya. Kobelev|ArXiv.org|Jan 17, 2000

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文提出了一套新颖的理论框架，其中时间和空间具有由物理场能量密度导出的分数维（FD），并使用广义分数阶导数（GFD）来描述在多重分形集合上的动力学。其主要贡献在于将所有物理场和力统一为时间与空间非整数维的几何后果，该理论在整数极限下退化为经典物理，并在强场区域提出新预测，且无发散问题。

ABSTRACT

A theory of time and space with fractional dimensions (FD) of time and space ($d_α, α=t,{\bf r})$ defined on multifractal sets is proposed. The FD is determined (using principle of minimum the functionals of FD) by the energy densities of Lagrangians of known physical fields. To describe behaviour of functions defined on multifractal sets the generalizations of the fractional Riemann-Liouville derivatives $D_{t}^{d(t)}$ are introduced with the order of differentiation (depending on time and coordinate) being equal the value of fractional dimension. For $d_{t}=const$ the generalized fractional derivatives (GFD) reduce to ordinary Riemann-Liouville integral functionals, and when $d_{t}$ is close to integer, GFD can be represented by means of derivatives of integer order. For time and space with fractional dimensions a method to investigate the generalized equations of theoretical physics by means of GFD is proposed. The Euler equations defined on multifractal sets of time and space are obtained using the principle of the minimum of FD functionals. As an example, a generalized Newton equation is considered and it is shown that this equation coincide with the equation of classical limit of general theory of relativity for $d_{t} o 1$. Several remarks concerning existence of repulsive gravitation are discussed. The possibility of geometrization all the known physical fields and forces in the frames of the fractal theory of time and space is demonstrated.

研究动机与目标

• 开发一个统一的理论框架，使所有物理场和力均源自时间和空间的分形几何。
• 通过引入分数维作为基本物理属性，解决关于空间、时间及其维度本质的基础性问题。
• 提供一种数学形式化方法——广义分数阶导数（GFD）——以描述在维度随时间和空间变化的多重分形集合上的动力学。
• 证明经典与相对论方程在分数维趋近整数时作为极限情况出现。
• 探讨非整数维对引力、守恒定律以及强场区域物理理论结构的影响。

提出的方法

• 该理论将时间和空间定义为存在于具有局部变化分数维 $d_t({\bf r},t)$ 和 $d_{\bf r}({\bf r},t)$ 的多重分形集合上的物质场，其由最小化拉格朗日能量密度泛函导出。
• 引入广义分数阶导数（GFD），其阶数为 $d(t)$ 或 $d({\bf r})$，当 $d_t = \text{const}$ 时退化为标准的黎曼-刘维尔导数，当 $d_t \to 1$ 时退化为整数阶导数。
• 基于分数维泛函最小化原理，在多重分形集合上推导出欧拉-拉格朗日方程，得到广义运动方程。
• 该方法适用于定义在时间与空间子集 $S_t$ 和 $S_r$ 上的函数，通过 $1/t = P(1/t) \pm \pi i\delta(t)$ 对奇异积分进行正则化，以处理发散问题。
• 该形式化方法允许通过将物理场的起源视为时空分形结构的后果，实现所有已知物理场的几何统一。
• 通过广义牛顿方程对该理论进行验证，其在 $d_t \to 1$ 时退化为广义相对论的古典极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间和空间的维度是否可以为分数？如果是，它能否从能量密度等物理原理中导出？
• RQ2 标准理论物理方程（如牛顿方程与相对论方程）能否作为变量分数维理论的极限情况出现？
• RQ3 当微分阶数依赖于时间和空间坐标时，广义分数阶导数（GFD）的数学结构是什么？
• RQ4 所提出的模型如何解释所有已知物理场与力作为非整数维时空几何的产物？
• RQ5 该理论对开放、多重分形时空中的排斥性引力与守恒定律的存在有何影响？

主要发现

• 从多重分形框架导出的广义牛顿方程在时间维趋近于1时，与广义相对论的古典极限一致，即 $d_t \to 1$。
• 地球上表面的时间维分数修正估计为 $d_t - 1 \sim 10^{-12}$，这为弱场区域使用标准物理提供了合理性。
• 所有已知物理场与力均可作为时空分形结构的几何后果实现统一，其中分数维充当场生成的源。
• 该理论预测在强场区域无发散，表明其存在一种标准量子场论中所缺乏的自然正则化机制。
• 该模型引入了一类仅由空间维分数性产生的新型‘时间场’，其方程与标准物理场的方程类似。
• 该框架允许存在‘近乎惯性’的参考系，其中任意速度的运动皆可能实现，当忽略分数修正时，其退化为狭义相对论。