[论文解读] What Does Nature Minimize In Every Incompressible Flow?

Haithem E. Taha, Cody Gonzalez|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2021

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 11

一句话总结

本文提出了最小压力梯度原理（PMPG），这是一种基本的变分原理，表明自然界在所有不可压缩流中最小化压力梯度的范数。该原理根植于高斯最小约束原理，将流体力学重新表述为一个最小化问题，从而在不求解纳维-斯托克斯方程的情况下，解决了经典流体力学问题——包括长期存在的光滑圆柱体升力悖论——并挑战了百年来认为库塔条件起源于粘性效应的信念。

ABSTRACT

In this paper, we discover the fundamental quantity that Nature minimizes in almost all flows encountered in everyday life: river, rain, flow in a pipe, blood flow, airflow over an airplane, etc. We show that the norm of the pressure gradient over the field is minimum at every instant of time! We call it the principle of minimum pressure gradient (PMPG). The principle is deeply rooted in classical mechanics via Gauss' principle of least constraint. Therefore, while we prove mathematically that Navier-Stokes' equation represents the necessary condition for minimization of the pressure gradient, the PMPG stands on its own philosophy independent of Navier-Stokes'. It turns any fluid mechanics problem into a minimization one. We demonstrate this intriguing property by solving three of the classical problems in fluid mechanics using the PMPG without resorting to Navier-Stokes' equation. In fact, the inviscid version of the PMPG allowed solving the long-standing problem of the aerohydrodynamic lift over smooth cylindrical shapes where Euler's equation fails to provide a unique answer. Moreover, the result challenges the accepted wisdom about lift generation on an airfoil, which has prevailed over a century. The PMPG is expected to be transformative for theoretical modeling of fluid mechanics as it encodes a complicated nonlinear partial differential equation into a simple minimization problem. The principle even transcends Navier-Stokes' equations in its applicability to non-Newtonian fluids with arbitrary constitutive relations and fluids subject to arbitrary forcing (e.g. electric or magnetic).

研究动机与目标

• 识别自然界在所有不可压缩流中最小化的 fundamental 物理量，解决流体力学中长期存在的空白问题。
• 开发一种独立于纳维-斯托克斯方程的变分原理，揭示流体运动的内在物理机制。
• 解决流体力学中的经典不定问题，如光滑圆柱体上的升力生成问题，其中欧拉方程无法给出唯一解。
• 提供一个适用于非牛顿流体和任意外力的统一框架，超越基于纳维-斯托克斯模型的局限性。
• 为流体力学提供一种新的理论基础，简化建模过程，减少对求解复杂偏微分方程的依赖，并可能为湍流闭合和存在性证明提供启示。

提出的方法

• 从高斯最小约束原理推导PMPG，将压力梯度视为维持不可压缩性的约束力。
• 将流体域上压力梯度的L2-范数最小化作为核心变分原理。
• 应用PMPG求解三个经典流体力学问题：绕圆柱体流动、绕机翼流动和斯托克斯流，而无需引入纳维-斯托克斯方程。
• 利用PMPG的无粘版本推导库塔条件，证明其为最小化结果，而非粘性效应的产物。
• 证明PMPG与纳维-斯托克斯方程之间的等价性作为必要条件，同时保持哲学上的独立性。
• 使用满足连续性方程和边界条件的运动学允许函数参数化流场，通过最小化压力梯度范数，将完整动力学投影到简化模型上。

实验结果

研究问题

• RQ1 自然界在所有不可压缩流（包括粘性流和湍流）中最小化的 fundamental 物理量是什么？
• RQ2 能否推导出一种独立于纳维-斯托克斯方程的变分原理，同时产生相同的控制方程？
• RQ3 为何欧拉方程无法唯一确定光滑圆柱体上的升力？这一不确定性能否通过新原理得到解决？
• RQ4 库塔条件是粘性效应的结果，还是如PMPG所提示的无粘动量现象？
• RQ5 PMPG能否推广至非牛顿流体和任意外力作用下，而无需修改其核心公式？

主要发现

• PMPG确立了在任何不可压缩流中，压力梯度的L2-范数在每一时刻都被最小化，为流体力学提供了新的第一性原理基础。
• 无粘PMPG唯一确定了光滑圆柱形体上的升力，解决了百年来欧拉方程无法给出唯一解的难题。
• 库塔条件自然地从PMPG中导出，作为最小化压力梯度的结果，表明其为无粘、动量主导的现象，而非粘性效应。
• PMPG成功恢复了经典结果：在理想流体极限下，圆柱体上的升力趋于零（当D → 1时，Γ* → 0）。
• 该原理普遍适用于非牛顿流体和受任意外力（如电磁力）作用的流体，无需修改其核心公式。
• PMPG为理论建模提供了新途径，包括潜在解决纳维-斯托克斯方程的存在性问题和湍流闭合问题，通过将流体力学表述为优化问题。