[论文解读] What is the absolutely continuous spectrum?

Laurent Bruneau, Vojkan Jakšić+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了自伴算符的绝对连续（ac）谱与开放量子系统中电子输运之间的严格联系。通过将量子系统建模为通过电子黑箱（EBB）模型与 reservoir 耦合的有限样品，作者证明了在热力学极限下，ac 谱恰好对应于稳态电流持续存在的能量，从而以数学精度验证了长期存在的物理直觉。

ABSTRACT

We summarize (and comment on) the research program carried out in (CMP 319, 501 (2013)), (CMP 338, 347 (2015)), (CMP 344, 959 (2016), (LMP 106, 787 (2016)). This program is devoted to the characterization of the absolutely continuous spectrum of a self-adjoint operator H in terms of the transport properties of a suitable class of open quantum systems canonically associated to H.

研究动机与目标

• 通过开放量子系统中的输运性质，对自伴算符的绝对连续谱提供数学上严格的表征。
• 通过将其与可测量的电子电流联系起来，解决长期存在的直觉问题：ac 谱对应于导电能量。
• 建立 ACET 猜想与薛定谔猜想之间的等价性，并分析后者失败的后果。
• 为多体量子系统中局域化与导电性的动力学、物理动机定义奠定基础。
• 通过引入具有短程相互作用的多体哈密顿量，将框架扩展至相互作用系统，同时保持电流可观测量。

提出的方法

• 将谱三元组 $({\rm H}, H, \rho)$ 单位等价于 $\ell^2(\mathbb{N})$ 上的雅可比矩阵 $J$ 及其标准基 $\delta_1$。
• 通过将雅可比矩阵的有限段 $\{1, \dots, L\}$ 与两个处于零温及化学势 $\mu_l < \mu_r$ 的 reservoir 耦合，构建电子黑箱（EBB）模型。
• 使用兰道尔-布蒂克公式计算稳态电流 $\langle \mathcal{J}_L \rangle_+$，该公式将电流表示为透射振幅的函数。
• 分析 $L \to \infty$ 时 $\langle \mathcal{J}_L \rangle_+$ 的极限，以识别电流持续存在的能量集合。
• 利用 ACET 猜想与薛定谔猜想之间的等价性，将谱问题重新表述为输运行为问题。
• 通过在哈密顿量中加入短程相互作用项 $W$，将框架扩展至相互作用系统，同时保持电流可观测量 $\mathcal{J}_L$。

实验结果

研究问题

• RQ1 自伴算符的绝对连续谱是否恰好对应于开放量子系统在热力学极限下电子电流持续存在的能量集合？
• RQ2 ACET 猜想——将 ac 谱与持续电流联系起来——是否等价于关于有界广义特征函数的薛定谔猜想？
• RQ3 阿维拉的反例表明薛定谔猜想失败时，对 ACET 猜想及量子系统中输运的动态影响是什么？
• RQ4 所提出的框架能否扩展至相互作用的多体系统，以通过电流的衰减或持续性来定义局域化与导电区域？
• RQ5 在无 ac 谱的情况下，电流 $\langle \mathcal{J}_L \rangle_+$、$\langle \mathcal{J}_L^{\rm Th} \rangle_+$ 与 $\langle \mathcal{J}_L^{\rm Cr} \rangle_+$ 的收敛速率如何？

主要发现

• 雅可比矩阵 $J$ 的绝对连续谱恰好是满足 $\liminf_{L \to \infty} \langle \mathcal{J}_L \rangle_+ > 0$ 的能量集合，其中能量位于 $](\mu_l, \mu_r)$ 内。
• ACET 猜想与薛定谔猜想等价，其失败（由于阿维拉的反例）意味着 ACET 猜想也失败。
• 定理 7.1、7.2 和 7.3 建立了：当且仅当 $H$ 的 ac 谱与 $](\mu_l, \mu_r)$ 无交集时，有 $\lim_{L \to \infty} \langle \mathcal{J}_L \rangle_+ = 0$。
• 当且仅当能量位于 ac 谱的本质支撑集中时，电流 $\langle \mathcal{J}_L \rangle_+$ 在 $L \to \infty$ 时保持不为零。
• 当 $\kappa = 0$ 时，导电区域的定义（$\liminf_{L \to \infty} \langle \mathcal{J}_L \rangle_{+,{\rm inf}} > 0$）与局域化区域的定义（$\limsup_{L \to \infty} \langle \mathcal{J}_L \rangle_{+,{\rm sup}} = 0$）分别等价于 $](\mu_l, \mu_r)$ 中存在或不存在 ac 谱。
• 所提出的框架允许通过在相互作用系统中对电流进行长时间平均，以数学上精确的方式定义多体局域化，即使在引入相互作用后依然成立。