[论文解读] What is the most competitive sport?

E. Ben‐Naim, Federico Vázquez+1 more|ArXiv.org|Dec 15, 2005

Sport and Mega-Event Impacts参考文献 5被引用 21

一句话总结

本文提出了 upset 頻率 $ q $，即冷門勝利的機率，作為體育競技性的一種定量衡量指標。利用一個將球隊實力均等性（勝率方差）與可預測性相連結的隨機模型，作者分析了五個主要聯盟超過100年的數據，發現足球與棒球最具競爭性，而美式足球與籃球則最缺乏競爭性，對應的 $ q $ 值分別為 0.452 與 0.441。

ABSTRACT

We present an extensive statistical analysis of the results of all sports competitions in five major sports leagues in England and the United States. We characterize the parity among teams by the variance in the winning fraction from season-end standings data and quantify the predictability of games by the frequency of upsets from game results data. We introduce a mathematical model in which the underdog team wins with a fixed upset probability. This model quantitatively relates the parity among teams with the predictability of the games, and it can be used to estimate the upset frequency from standings data. We propose the likelihood of upsets as a measure of competitiveness.

研究动机与目标

• 開發一種能考量不同賽季長度與球隊實力均等性的專業體育競技性定量衡量方法。
• 探討球隊表現方差（實力均等性）與比賽可預測性（upset 頻率）之間的關係。
• 測試冷門頻率（$ q $）是否可作為跨不同體育項目之競爭性之穩健、獨立指標。
• 驗證理論模型，將排名數據（勝率方差）與賽事層級結果（upset 頻率）連結。

提出的方法

• 作者將 upset 頻率 $ q $ 定義為在比賽時勝率較差球隊獲勝的比賽比例，排除平局與賽季初期的比賽。
• 引入一個隨機模型，其中冷門球隊以固定機率 $ q < 0.5 $ 獲勝，而熱門球隊則以其他機率獲勝，根據相對球隊實力模擬比賽結果。
• 使用蒙地卡羅模擬人工聯盟，透過匹配模擬出的勝率分佈與實際季終排名，來擬合模型至真實數據。
• 模型預測在無限場比賽的極限下，勝率的標準差 $ ho $ 為 $ (1/2 - q)/ ho{3} $，從而分析性地連結 $ ho $ 與 $ q $。
• 理論上的 $ q_{\text{model}} $ 係透過將模擬分佈擬合至觀測到的 $ F(x) $（勝率累積分佈）而推導而出。
• 分析中透過在平局比賽中給予雙方各 0.5 分來處理平局，並驗證此方式對 $ q $ 的影響極小。

实验结果

研究问题

• RQ1 冷門頻率（$ q $）在主要職業體育聯盟中如何變化，且能否作為競爭性之可靠衡量指標？
• RQ2 賽季長度在多大程度上影響球隊勝率方差的觀測值？如何進行校正以實現公平比較？
• RQ3 僅具固定冷門機率 $ q $ 的簡化隨機模型，是否能準確再現不同體育項目中球隊勝率分佈的實際觀測結果？
• RQ4 球隊實力均等性（以 $ ho $ 衡量）與可預測性（以 $ q $ 衡量）之間是否存在一致關係？此關係是否足以僅憑排名數據估算 $ q $？
• RQ5 在不同聯盟中，$ q $ 與 $ ho $ 的趨勢如何隨時間演變？這些趨勢可能反映球隊平衡或比賽戰術的哪些變化？

主要发现

• 足球（FA）與棒球（MLB）的冷門頻率最高，分別為 $ q = 0.452 $ 與 $ q = 0.441 $，顯示它們是競爭性最高的運動。
• 籃球（NBA）與美式足球（NFL）的冷門頻率最低，分別為 $ q = 0.365 $ 與 $ q = 0.364 $，顯示它們競爭性最低。
• 模型預測的冷門機率 $ q_{\text{model}} $ 與實際測量的 $ q $ 非常接近，所有聯盟的差異均小於 0.05，驗證了模型的準確性。
• 勝率方差 $ ho $ 與偏移量 $ 1/2 - q $ 呈反比關係，確認理論預測：較高的 $ q $ 將導致較低的 $ ho $。
• 過去60年來，NFL 與 MLB 的比賽變得更具競爭性，表現為 $ q $ 值上升；而英格蘭足球總會（FA）的 $ q $ 則呈現下降趨勢。
• 該模型可僅憑排名數據估算 $ q $，提供一種實用工具，無需取得逐場比賽結果即可評估競爭性。