[论文解读] What is the probability that a random integral quadratic form in $n$ variables has an integral zero?

Manjul Bhargava, J. E. Cremona+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文确定了在高斯正交系族（GOE）分布下，从 $n$ 个变量的随机整系数二次型中，具有非平凡整数零点（即各向同性）的精确概率。研究证明，全局各向同性概率等于所有 $p$-进域和实数域上的局部概率之积，其中 $p$-进密度具有显式有理函数形式，实数域各向同性概率具有闭式表达式，最终得出四元二次型的各向同性概率为 98.3%。

ABSTRACT

We show that the density of quadratic forms in $n$ variables over $\mathbb Z_p$ that are isotropic is a rational function of $p$, where the rational function is independent of $p$, and we determine this rational function explicitly. When real quadratic forms in $n$ variables are distributed according to the Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) of random matrix theory, we determine explicitly the probability that a random such real quadratic form is isotropic (i.e., indefinite). As a consequence, for each $n$, we determine an exact expression for the probability that a random integral quadratic form in $n$ variables is isotropic (i.e., has a nontrivial zero over $\mathbb Z$), when these integral quadratic forms are chosen according to the GOE distribution. In particular, we find an exact expression for the probability that a random integral quaternary quadratic form has an integral zero; numerically, this probability is approximately $98.3\%$.

研究动机与目标

• 在 GOE 分布下，确定 $n$ 个变量的随机整系数二次型具有非平凡整数零点（各向同性）的精确概率。
• 计算所有素数 $p$ 的 $\mathbb{Z}_p$ 上各向同性二次型的局部密度，证明其为与 $p$ 无关的有理函数。
• 推导随机实二次型（在 GOE 下）为不定型（即在 $\mathbb{R}$ 上各向同性）的概率的精确表达式。
• 利用 Hasse–Minkowski 定理，将局部概率与实数概率结合，计算整系数形式的全局各向同性概率。
• 提供显式且可数值验证的结果，特别是当 $n=4$ 时，各向同性概率约为 98.3%。

提出的方法

• 利用 Hasse–Minkowski 定理，将全局各向同性问题转化为在 $\mathbb{R}$ 和所有 $\mathbb{Z}_p$ 上的局部可解性问题，将全局概率表示为局部概率的乘积。
• 应用 GOE 分布来建模随机整系数二次型，借助随机矩阵理论计算不定实型的概率。
• 通过 $\mathbb{Z}_p^{n(n+1)/2}$ 上的测度，推导出 $p$-进各向同性密度的递推公式，证明对每个 $n$，$\rho_n(p)$ 是 $p$ 的有理函数。
• 通过 GOE 矩阵的特征值分布计算实各向同性概率 $\rho_n(\infty)$，将其表示为由赫尔米特型函数积分导出的反对称矩阵的 Pfaffian。
• 利用正交多项式展开与 Pfaffian 恒等式，计算所得行列式表达式，得到 $\pi^{-1}$ 与 $\sqrt{2}$ 的代数表达式。
• 对小的 $n$ 进行数值验证，特别通过显式计算乘积公式，得出 $\rho_4 \approx 98.3\%$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当通过 GOE 分布选取时，$n$ 个变量的随机整系数二次型具有非平凡整数零点的精确概率是多少？
• RQ2 在 $\mathbb{Z}_p$ 上，$n$ 元二次型的各向同性密度如何依赖于 $p$？该密度是否为与 $p$ 无关的有理函数？
• RQ3 在 GOE 下，随机实 $n$ 元二次型为不定型（即在 $\mathbb{R}$ 上各向同性）的概率是多少？
• RQ4 整系数形式的全局各向同性概率能否表示为所有 $p$ 和 $\infty$ 上局部概率的乘积？若是，其表达式为何？
• RQ5 四元二次型（$n=4$）的各向同性概率的确切值是多少？其与数值预期相比如何？

主要发现

• 在 $\mathbb{Z}_p$ 上，$n$ 元各向同性二次型的密度是与 $p$ 无关的有理函数，对 $n=1$ 至 $n=4$ 给出了显式表达式，且当 $n \geq 5$ 时 $\rho_n(p) = 1$。
• 当 $n=4$ 时，全局各向同性概率为 $\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{1}{\pi}\right) \prod_p \left(1 - \frac{p^3}{4(p+1)^2(p^4 + p^3 + p^2 + p + 1)}\right) \approx 98.3\%$。
• 随机实 $n$ 元二次型（在 GOE 下）为不定型的概率由一个由赫尔米特函数积分导出的反对称矩阵的 Pfaffian 给出。
• 实各向同性概率 $\rho_n(\infty)$ 是 $\pi^{-1}$ 的多项式，其系数属于 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$，次数至多为 $\lfloor(n+1)/4\rfloor$。
• 当 $n \geq 5$ 时，$\mathbb{Z}_p$ 上的各向同性概率为 1，因此全局各向同性概率完全由实数域和有限 $p$-进域的贡献决定。
• 该方法提供了一种统一的递推方法来计算 $p$-进密度，为所有 $n$ 元形式在 $\mathbb{Q}_p$ 上当 $n \geq 5$ 时均各向同性这一事实提供了新证明。