[论文解读] What is the theory ZFC without power set?

Victoria Gitman, Joel David Hamkins+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 13

一句话总结

本文表明，不含幂集公理的ZFC（即ZFC⁻）不足以支撑基础集合论结果，因其无法证明一些基本性质，例如可数并的可数性、ω₁的正则性，以及超幂构造中的 Łoś 定理。其关键贡献在于证明：在公理化中以集合归纳公理替代替换公理，可得到一个更强、更稳健的理论——ZFC⁻，从而修复了上述缺陷。

ABSTRACT

We show that the theory ZFC-, consisting of the usual axioms of ZFC but with the power set axiom removed-specifically axiomatized by extensionality, foundation, pairing, union, infinity, separation, replacement and the assertion that every set can be well-ordered-is weaker than commonly supposed and is inadequate to establish several basic facts often desired in its context. For example, there are models of ZFC- in which $ω_1$ is singular, in which every set of reals is countable, yet $ω_1$ exists, in which there are sets of reals of every size $\aleph_n$, but none of size $\aleph_ω$, and therefore, in which the collection axiom sceme fails; there are models of ZFC- for which the Los theorem fails, even when the ultrapower is well-founded and the measure exists inside the model; there are models of ZFC- for which the Gaifman theorem fails, in that there is an embedding $j:M o N$ of ZFC- models that is $Σ_1$-elementary and cofinal, but not elementary; there are elementary embeddings $j:M o N$ of ZFC- models whose cofinal restriction $j:M o \bigcup j``M$ is not elementary. Moreover, the collection of formulas that are provably equivalent in ZFC- to a $Σ_1$-formula or a $Π_1$-formula is not closed under bounded quantification. Nevertheless, these deficits of ZFC- are completely repaired by strengthening it to the theory $ZFC^-$, obtained by using collection rather than replacement in the axiomatization above. These results extend prior work of Zarach.

研究动机与目标

• 探究不含幂集公理（ZFC⁻）在缺乏幂集与替换公理情况下的基础性缺陷。
• 证明ZFC⁻无法证明诸如ω₁的正则性或超幂构造中Łoś定理等基本事实。
• 证明即使ω₁存在，ZFC⁻也无法证明可数个可数集的并是可数的。
• 确立ZFC⁻无法证明存在大小为ℵω的实数集，尽管对每个n < ω，都存在大小为ℵn的实数集。
• 论证ZFC⁻在大基数理论与超幂构造应用中不充分，并主张采用含集合归纳公理的ZFC⁻作为更优替代方案。

提出的方法

• 通过强迫迭代（特别是Lévy坍塌Coll(ℵ₁, <ℵω)）构造ZFC⁻的模型，以产生ω₁为奇异的模型。
• 使用强迫公式的弱积构造ZFC⁻的模型，使集合归纳公理失效，方法是确保不存在单个集合能收集来自给定集合的函数像。
• 在ZFC⁻模型中分析超幂构造，使用内部超滤子，表明即使超幂是良基的，超幂映射也可能不是初等等价的。
• 应用Gaifman定理，证明在ZFC⁻中，共尾Σ₁初等等价嵌入不一定是初等等价的，从而揭示该定理的失效。
• 在内模型W ⊆ V[G]中使用可定义的超幂，其中P(ω)存在且超幂映射可定义，但并非Σ₂初等等价。
• 利用Zarach关于通过强迫公式的有限递增积构造ZFC⁻模型的一般框架，将其适配以揭示Łoś定理与集合归纳公理的失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 ZFC⁻能否证明可数个可数集的并是可数的？
• RQ2 ZFC⁻是否能保证ω₁是正则的？是否可能在ZFC⁻模型中ω₁为奇异？
• RQ3 即使对所有n < ω，ZFC⁻都存在大小为ℵn的实数集，它能否证明存在大小为ℵω的实数集？
• RQ4 当超幂是良基且测度属于模型时，Łoś超幂定理是否仍对ZFC⁻模型成立？
• RQ5 是否存在一个共尾Σ₁初等等价嵌入j:M → N，其本身不是初等等价的，从而违反Gaifman定理？

主要发现

• 存在ZFC⁻模型，其中ω₁为奇异，尽管ω₁存在，表明ZFC⁻无法证明ω₁的正则性。
• 存在ZFC⁻模型，其中每个实数集都是可数的，但ω₁存在，表明ZFC⁻无法证明不可数实数集的存在。
• 存在ZFC⁻模型，其中对每个n < ω，都存在大小为ℵn的实数集，但不存在大小为ℵω的实数集，表明ZFC⁻无法证明此类集合的存在。
• Łoś超幂定理在ZFC⁻中不成立：存在模型M ⊨ ZFC⁻，配备M-正规测度μ，使得由μ生成的超幂是良基的，但超幂映射不是初等等价的。
• Gaifman定理在ZFC⁻中不成立：存在ZFC⁻模型之间的共尾Σ₁初等等价嵌入j:M → N，其本身不是初等等价的，即使其共尾限制j:M → ⋃j[M]也非初等等价。
• 在ZFC⁻中，与Σ₁或Π₁公式逻辑等价的公式集合在有界量词作用下不封闭，表明该理论在逻辑结构上存在根本缺陷。