[论文解读] What is wrong with von Neumann's theorem on "no hidden variables"

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Aug 31, 2004

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文挑戰冯·诺依曼于1932年提出的关于量子力学中隐变量不可能存在的定理，认为该定理的关键假定——对所有可观测量（包括非对易的可观测量）的期望值必须满足实线性——在物理上是不合理的。作者表明，当该假定应用于非对易可观测量时，会引致数学矛盾，并指出德布罗意-玻姆力学提供了一个反例，从而否定了该定理作为隐变量一般禁止的结论。

ABSTRACT

It is shown that, although correct mathematically, the celebrated 1932 theorem of von Neumann which is often interpreted as proving the impossibility of the existence of "hidden variables" in Quantum Mechanics, is in fact based on an assumption which is physically not reasonable. Apart from that, the alleged conclusion of von Neumann proving the impossibility of the existence of "hidden variables" was already set aside in 1952 by the counterexample of the possibility of a physical theory, such as given by what is usually called the "Bohmian Mechanics". Similar arguments apply to other two well known mathematical theorems, namely, of Gleason, and of Kochen and Specker, which have often been seen as equally proving the impossibility of the existence of "hidden variables" in Quantum Mechanics.

研究动机与目标

• 挑戰馮·諾依曼假設的物理合理性，即期望值必須對所有可觀測量（包括非對易的可觀測量）滿足實線性。
• 證明馮·諾依曼定理並未排除隱變量理論的存在，因為其關鍵假設缺乏物理依據。
• 表明德布罗意-玻姆力學為定理結論提供了一個有效的反例，從而證明隱變量可以存在。
• 將批判擴展至其他「無解定理」，如格萊森與科亨-斯佩克爾定理，這些定理同樣基於可疑的假設。
• 澄清馮·諾依曼定理的數學正確性並不代表物理必然性，特別是在應用於非對易可觀測量時。

提出的方法

• 透過識別定理的三個核心假設來分析馮·諾依曼定理：歸一化（E(ψ,1)=1）、實線性（E(ψ,αA+βB)=αE(ψ,A)+βE(ψ,B)）和正性（對投影算符P，有E(ψ,P)≥0）。
• 透過複線性將期望泛函E從厄米算符擴展至所有有界算符，使用分解A = A₊ + iA₋。
• 從一維投影算符的期望值構造密度算符U_ψ，並證明對所有A都有E(ψ,A) = Tr(U_ψ A)。
• 應用正性和歸一化條件，證明U_ψ是有效的密度算符（正定且跡為1）。
• 識別出當將線性假設應用於非對易可觀測量（如σ_x、σ_y和σ_b = (σ_x + σ_y)/√2）時產生的矛盾。
• 利用本徵值賦值中的矛盾（例如±1/2 = (±1/2 ± 1/2)/√2）來表明，對非對易可觀測量的線性性會導致荒謬結論，從而否證該假設。

实验结果

研究问题

• RQ1 馮·諾依曼假設期望值對所有可觀測量（包括非對易的可觀測量）必須滿足實線性，在物理上是否可接受？
• RQ2 馮·諾依曼定理是否真正排除了量子力學中隱變量的存在？
• RQ3 能否構造馮·諾依曼定理的反例（如德布罗意-玻姆力學），以證明隱變量存在的可能性？
• RQ4 其他「無解定理」（如格萊森與科亨-斯佩克爾定理）是否也存在類似的基礎假設缺陷？
• RQ5 對非對易可觀測量應用線性性會產生何種物理後果？為何會導致測量結果的矛盾？

主要发现

• 馮·諾依曼定理在數學上正確，但其基礎是物理上不合理的假設：期望值對所有可觀測量（不論是否對易）必須滿足實線性。
• 當將此假設應用於非對易可觀測量（如σ_x與σ_y）時，會導致矛盾，因為它暗示了不可能的本徵值關係，如±1/2 = (±1/2 ± 1/2)/√2。
• 要求對所有投影算符P_χ，E(ψ,P_χ)為常數（0或1）會與跡條件Tr(U_ψ)=1產生矛盾，除非U_ψ為零或跡為M，從而違反歸一化。
• 德布罗意-玻姆力學為馮·諾依曼結論提供了一個具體的反例，表明隱變量可以存在而不違反量子預測。
• 對格萊森與科亨-斯佩克爾定理的批判同樣適用，它們也依賴於非物理必要或不合理的假設。
• 本文結論認為，不能透過這些定理證明隱變量不存在，因為其基礎假設缺乏物理依據。