[论文解读] What's Decidable about Syntax-Guided Synthesis?

Benjamin Caulfield, Markus N. Rabe+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文研究了在不同逻辑理论和语法类别下，语法引导合成（SyGuS）的可判定性。证明了在带未解释函数的相等性理论（EUF）和带连接的位向量理论中，SyGuS是不可判定的，但在正则-EUF与正则树语法下是可判定的，该情况为 EXPTIME 完全，且解集恰好对应于正则树语言。

ABSTRACT

Syntax-guided synthesis (SyGuS) is a recently proposed framework for program synthesis problems. The SyGuS problem is to find an expression or program generated by a given grammar that meets a correctness specification. Correctness specifications are given as formulas in suitable logical theories, typically amongst those studied in satisfiability modulo theories (SMT). In this work, we analyze the decidability of the SyGuS problem for different classes of grammars and correctness specifications. We prove that the SyGuS problem is undecidable for the theory of equality with uninterpreted functions (EUF).We identify a fragment of EUF, which we call regular-EUF, for which the SyGuS problem is decidable. We prove that this restricted problem is EXPTIME-complete and that the sets of solution expressions are precisely the regular tree languages. For theories that admit a unique, finite domain, we give a general algorithm to solve the SyGuS problem on tree grammars. Finite-domain theories include the bit-vector theory without concatenation. We prove SyGuS undecidable for a very simple bit-vector theory with concatenation, both for context-free grammars and for tree grammars. Finally, we give some additional results for linear arithmetic and bit-vector arithmetic along with a discussion of the implication of these results.

研究动机与目标

• 分析语法引导合成（SyGuS）问题在不同逻辑理论与语法类别组合下的可判定性。
• 识别 SyGuS 变为可判定的条件，特别关注常用理论的受限片段。
• 阐明 SyGuS 的理论边界，尤其是在人们普遍认为语法约束可简化合成的直觉背景下。
• 基于理论与语法类型，对 SyGuS 问题进行全面分类，包括对可判定情况的复杂度刻画。

提出的方法

• 将 SyGuS 形式化为在给定 SMT 理论中，从语法规则中寻找满足逻辑规范的表达式的問題。
• 通过形式语言理论中不可判定问题的约化，证明了在 EUF 和带连接的位向量理论中 SyGuS 的不可判定性。
• 引入正则-EUF 片段，其中语法被限制为正则树语法，从而实现可判定性与复杂度分析。
• 利用自动机理论技术，证明正则-EUF 中的解集恰好是正则树语言。
• 设计一种适用于有限域理论的 SyGuS 通用算法，通过有限模型枚举与 SMT 检查实现。
• 分析语法表达能力的影响——比较上下文无关语法、树语法与受限语法对可判定性与复杂度的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用树语法时，带未解释函数的相等性理论（EUF）的 SyGuS 问题是否可判定？
• RQ2 能否识别出 EUF 的一个可判定片段，使得在合理的语法限制下 SyGuS 仍保持可判定？
• RQ3 当使用树语法时，有限域理论中 SyGuS 的复杂度是多少？
• RQ4 带连接的位向量理论中 SyGuS 是否可判定，语法表达能力如何影响这一性质？
• RQ5 针对线性算术（LRA、LIA）的特定语法如何影响 SyGuS 问题的可判定性？

主要发现

• 当使用树语法时，带未解释函数的相等性理论（EUF）的 SyGuS 问题不可判定。
• 识别出一个可判定片段——正则-EUF，当使用正则树语法时，SyGuS 为 EXPTIME 完全。
• 任何正则-EUF SyGuS 问题的解集恰好是一个正则树语言。
• 对于有限域理论，使用树语法时 SyGuS 可判定，但使用任意上下文无关语法时不可判定。
• 即使限制为上下文无关或树语法，带连接的位向量理论中 SyGuS 仍不可判定。
• 当使用可生成所有合法表达式的无限制语法时，无连接的位向量算术中 SyGuS 保持可判定。