[论文解读] What's wrong with the growth of simple closed geodesics on nonorientable hyperbolic surfaces

Matthieu Gendulphe|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 41被引用 12

一句话总结

本文研究了在非可定向双曲曲面上，Mirzakhani 的渐近增长律对简单闭测地线失效的原因。研究发现，此类测地线长度 ≤ L 的数量增长慢于 L 的任意正幂次，这是由于映射类群在测度叶状结构上的作用非极小，且存在单侧测地线所致。模空间的 Teichmüller 体积与 Weil–Petersson 体积均为无穷大，其结构类似于一个无限体积的几何有限轨道丛。

ABSTRACT

A celebrated result of Mirzakhani states that, if $(S,m)$ is a finite area \\emph{orientable} hyperbolic surface, then the number of simple closed geodesics of length less than $L$ on $(S,m)$ is asymptotically equivalent to a positive constant times $L^{\\dim\\mathcal{ML}(S)}$, where $\\mathcal{ML}(S)$ denotes the space of measured laminations on $S$. We observed on some explicit examples that this result does not hold for \\emph{nonorientable} hyperbolic surfaces. The aim of this article is to explain this surprising phenomenon. Let $(S,m)$ be a finite area \\emph{nonorientable} hyperbolic surface. We show that the set of measured laminations with a closed one--sided leaf has a peculiar structure. As a consequence, the action of the mapping class group on the projective space of measured laminations is not minimal. We determine a partial classification of its orbit closures, and we deduce that the number of simple closed geodesics of length less than $L$ on $(S,m)$ is negligible compared to $L^{\\dim\\mathcal{ML}(S)}$. We extend this result to general multicurves. Then we focus on the geometry of the moduli space. We prove that its Teichm\\"uller volume is infinite, and that the Teichm\\"uller flow is not ergodic. We also consider a volume form introduced by Norbury. We show that it is the right generalization of the Weil--Petersson volume form. The volume of the moduli space with respect to this volume form is again infinite (as shown by Norbury), but the subset of hyperbolic surfaces whose one--sided geodesics have length at least $\\varepsilon>0$ has finite volume. These results suggest that the moduli space of a nonorientable surface looks like an infinite volume geometrically finite orbifold. We discuss this analogy and formulate some conjectures.

研究动机与目标

• 解释为何 Mirzakhani 对非可定向双曲曲面上简单闭测地线的渐近增长公式失效。
• 分析包含单侧叶的测度叶状结构的空间结构及其对映射类群作用的影响。
• 确定非可定向曲面上简单闭测地线及一般多重曲线的增长率。
• 研究非可定向双曲曲面模空间的 Teichmüller 与 Weil–Petersson 体积。
• 探讨非可定向曲面模空间与无限体积几何有限轨道丛之间的类比关系。

提出的方法

• 分析映射类群在测度叶状结构的射影空间上的作用，识别出由于单侧叶的存在而导致的非极小轨道闭包。
• 利用 Fenchel–Nielsen 坐标系并构造一个精心设计的向量场流，在 Teichmüller 空间上实现形变收缩。
• 使用单侧多重曲线构造 Teichmüller 空间薄部分的良好开覆盖，证明其同伦等价于单侧曲线复形。
• 构造一个能增加与给定多重曲线不相交的测地线长度的流，从而实现向紧致子空间的形变收缩。
• 依赖测度叶状结构理论与 Thurston 的紧化方法，将 Mirzakhani 的计数测度方法扩展至非可定向情形。
• 通过体积形式与渐近体积增长比较模空间的几何结构与几何有限轨道丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何非可定向双曲曲面上简单闭测地线的渐近增长不遵循 Mirzakhani 的多项式律？
• RQ2 非可定向曲面上包含单侧叶的测度叶状结构空间具有何种结构？
• RQ3 与可定向情形相比，映射类群在非可定向曲面上射影测度叶状结构空间上的作用有何不同？
• RQ4 非可定向双曲曲面模空间的 Teichmüller 与 Weil–Petersson 体积是多少？
• RQ5 非可定向曲面的模空间在多大程度上类似于一个无限体积的几何有限轨道丛？

主要发现

• 在非可定向双曲曲面上，长度 ≤ L 的简单闭测地线数量增长慢于 L 的任意正幂次，且归一化计数的极限为零。
• 由于测度叶状结构空间中存在单侧叶，映射类群在测度叶状结构射影空间上的作用并非极小。
• 非可定向曲面的 Teichmüller 空间在 Teichmüller 与 Weil–Petersson 体积形式下均为无穷体积。
• 在长度 ≥ ε > 0 的单侧测地线存在的双曲曲面子集中，使用 Norbury 的体积形式测得的体积为有限，暗示其具有几何有限结构。
• Teichmüller 空间薄部分的边界同伦等价于单侧多重曲线复形。
• 非可定向曲面的模空间行为类似于无限体积的几何有限轨道丛，对动力系统与体积增长具有深远影响。