[论文解读] When a C*-algebra is a coefficient algebra for a given endomorphism

V. I. Bakhtin, А. В. Лебедев|ArXiv.org|Feb 19, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文建立了在给定自同态下，一个单位C*-代数成为系数代数的充要条件：即该自同态存在一个完全转移算子。作者证明，这样的系数代数存在当且仅当该代数在希尔伯特空间上存在一个忠实的、非退化的表示，且存在一个部分等距算子，满足与自同态及其关联的转移算子相关的特定协变条件。

ABSTRACT

The paper presents a criterion for a C*-algebra to be a coefficient algebra associated with a given endomorphism

研究动机与目标

• 确定一个单位C*-代数在何种条件下可作为给定自同态的系数代数。
• 基于与自同态相容的转移算子的存在性，建立一个判别准则。
• 通过自同态将系数代数理论与半交叉积的结构联系起来。
• 阐明转移算子在由自同态与部分等距生成的C*-代数构造中的作用。

提出的方法

• 为单位C*-代数A上的给定自同态δ引入转移算子δ*的概念，满足对所有a,b ∈ A，有δ*(δ(a)b) = aδ*(b)。
• 将完全转移算子定义为：其关联的投影P = δ*(1)满足对所有a ∈ A，有Pδ(a)P = δ(a)。
• 将希尔伯特空间H构造为整数指标的A的副本的直和，其内积通过转移算子定义。
• 通过设定对n ≥ 0，有π(a)h_n = a h_n；对n < 0，有π(a)h_n = δ^{|n|}(a) h_n，定义A到L(H)的表示π。
• 通过U h_n = δ(h_{n-1})（当n > 0时）和U h_n = δ^{|n|+1}(1) h_{n-1}（当n ≤ 0时），在H上定义一个部分等距算子U。
• 验证这些算子满足协变关系：对所有a ∈ A，有Uπ(a)U* = π(δ(a)) 且 U*π(a)U = π(δ*(a))，从而证明了所需表示的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个单位C*-代数是给定自同态的系数代数？
• RQ2 转移算子在表征系数代数中扮演何种角色？
• RQ3 何时一个C*-代数的自同态可由C*-代数扩张中的部分等距生成？
• RQ4 完全转移算子的存在性如何与系数代数的结构相联系？
• RQ5 在何种条件下，给定的自同态可由一个等距生成？

主要发现

• 一个单位C*-代数A是给定自同态δ的系数代数，当且仅当δ存在一个完全转移算子δ*。
• 完全转移算子的存在性确保了在希尔伯特空间H上存在一个忠实的、非退化的表示π，以及一个部分等距U，使得对所有a ∈ A，协变关系Uπ(a)U* = π(δ(a)) 和 U*π(a)U = π(δ*(a)) 成立。
• 自同态δ由一个等距生成，当且仅当存在一个完全转移算子δ*，使得δ*(1) = 1。
• 投影P = δ*(1)在确定自同态的像集和关联C*-代数的结构中起着核心作用。
• 将希尔伯特空间H构造为A的副本的直和，并通过δ*定义其内积，确保了算子U和U*的定义良好性与伴随性。
• 证明表明，表示π是忠实的，其依据为Gelfand-Naimark构造以及转移算子的正性。