[论文解读] When all closed subsets are recurrent?

Jie Li, Piotr Oprocha+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文研究了在何种条件下拓扑动力系统（t.d.s.）中的所有闭子集均为遍历的，重点考察紧致子集空间上的诱导系统。研究证明，紧致子集空间 $K(X)$ 是逐点遍历的（即所有紧致集均为遍历的）当且仅当原系统 $(X,T)$ 是一致刚性（uniformly rigid），并构造了最小的、非等连续的、可除的（distal）以及一致刚性的系统，解决了文献中关于拓扑动力学中遍历性与刚性关系的若干开放问题。

ABSTRACT

In the paper we study relations of rigidity, equicontinuity and pointwise recurrence between a t.d.s. $(X,T)$ and the t.d.s. $(K(X),T_K)$ induced on the hyperspace $K(X)$ of all compact subsets of $X$, and provide some characterizations. Among other examples, we construct a minimal, non-equicontinuous, distal and uniformly rigid t.d.s. and a t.d.s. which has dense small periodic sets but does not have dense distal points, solving that way open questions existing in the literature.

研究动机与目标

• 通过研究紧致子集空间 $K(X)$ 上的诱导系统，刻画拓扑动力系统中所有紧致子集为遍历的条件。
• 解决关于最小的、非等连续的、可除的以及一致刚性系统的存在性问题。
• 澄清诱导紧致子集系统 $(K(X), T_K)$ 中的遍历性、刚性、等连续性与可除性之间的关系。
• 研究在逐点遍历与刚性条件下，$(K(X), T_K)$ 的拓扑熵。
• 考察紧致子集系统中遍历点与可除点的稠密性及其对与最小系统不相交性的影响。

提出的方法

• 分析拓扑动力系统 $(X,T)$ 的紧致子集空间上的诱导系统 $(K(X), T_K)$。
• 利用遍历集 $X^{(\alpha)}$ 的序数秩分析来研究遍历结构，并通过超限归纳法导出矛盾。
• 应用 $n$-刚性与一致刚性的概念，以刻画 $K(X)$ 中的遍历性。
• 使用符号动力学与逆极限方法，显式构造最小的、非等连续的、可除的以及一致刚性的系统。
• 运用拓扑与测度论工具，包括 $\varepsilon$-邻域与紧致集中的周期性，分析遍历行为。
• 借助 Bauer 与 Sigmund 关于紧致子集动力学的结果，并通过新方法扩展，证明 $K(X)$ 中的遍历性与 $X$ 中的一致刚性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时诱导系统 $(K(X), T_K)$ 是逐点遍历的，即所有紧致子集均为遍历的？
• RQ2 $(X,T)$ 的一致刚性与 $(K(X), T_K)$ 中的逐点遍历性之间的确切关系为何？
• RQ3 是否存在一个最小的、非等连续的、可除的且一致刚性的 t.d.s.？
• RQ4 若 $(K(X), T_K)$ 中可除点稠密，是否意味着 $(X,T)$ 中也可除点稠密？
• RQ5 当 $K(X)$ 为逐点遍历时，$(K(X), T_K)$ 的拓扑熵是多少？

主要发现

• 紧致子集空间 $(K(X), T_K)$ 是逐点遍历的，当且仅当原系统 $(X,T)$ 是一致刚性。
• 当 $X$ 可数时，$K(X)$ 是逐点遍历的，当且仅当 $(X,T)$ 是一致刚性。
• 当 $K(X)$ 为逐点遍历时（即 1-刚性），$(K(X), T_K)$ 的拓扑熵为零。
• 存在一个最小的、非等连续的、可除的且一致刚性的 t.d.s.，解决了文献中的一个开放问题。
• 存在一个 t.d.s.，其小周期集稠密，但可除点不稠密，回答了一个开放问题。
• 构造了一个例子，其中 $(K(X), T_K)$ 中可除点稠密，但 $(X,T)$ 中不可除点不稠密，证实了此前一个开放问题。