[论文解读] When are Duality Defects Group-Theoretical?

Zhengdi Sun, Yunqin Zheng|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本文确定了在二维和四维中，与规范化有限阿贝尔对称性 $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ 和 $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ 相关的对偶缺陷何时为群论性的，即能否通过可逆对称性的异常流入构造。结果表明，此类缺陷为群论性当且仅当其对称性拓扑场论（SymTFT）为狄克格拉夫-惠特尼理论，这在二维中精确对应于 $N$ 为完全平方数，在四维中对应于 $N = L^2M$ 且 $-1$ 模 $M$ 为二次剩余的情形。通过显式拓扑操作，将这些非可逆缺陷映射为可逆缺陷。

ABSTRACT

A quantum field theory with a finite abelian symmetry $G$ may be equipped with a non-invertible duality defect associated with gauging $G$. For certain $G$, duality defects admit an alternative construction where one starts with invertible symmetries with certain 't Hooft anomaly, and gauging a non-anomalous subgroup. This special type of duality defects are termed group theoretical. In this work, we determine when duality defects are group theoretical, among $G=\mathbb{Z}_N^{(0)}$ and $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ in $2$d and 4d quantum field theories, respectively. A duality defect is group theoretical if and only if its Symmetry TFT is a Dijkgraaf-Witten theory, and we argue that this is equivalent to a certain stability condition of the topological boundary conditions of the $G$ gauge theory. By solving the stability condition, we find that a $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ duality defect in 2d is group theoretical if and only if $N$ is a perfect square, and under certain assumptions a $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ duality defect in 4d is group theoretical if and only if $N=L^2 M$ where $-1$ is a quadratic residue of $M$. For these subset of $N$, we construct explicit topological manipulations that map the non-invertible duality defects to invertible defects. We also comment on the connection between our results and the recent discussion of obstruction to duality-preserving gapped phases.

研究动机与目标

• 确定与规范化有限阿贝尔对称性相关的对偶缺陷为群论性的条件。
• 识别对偶缺陷的对称性拓扑场论（SymTFT）何时等价于狄克格拉夫-惠特尼理论。
• 建立群论性对偶缺陷与 $G$-规范理论中拓扑边界条件稳定性之间的联系。
• 为特定 $N$ 构造显式拓扑操作，将非可逆对偶缺陷映射为可逆缺陷。
• 将对偶缺陷的群论性质与形成保持对偶性的能隙相的障碍联系起来。

提出的方法

• 分析对偶缺陷的 SymTFT，识别其何时与狄克格拉夫-惠特尼理论一致，后者刻画了群论性对偶缺陷。
• 利用对偶缺陷为群论性当且仅当其 SymTFT 为狄克格拉夫-惠特尼理论的条件，该条件源自 $G$-规范理论的拓扑边界条件结构。
• 求解三维 $\mathbb{Z}_N$ 规范理论（二维情形）和五维 $\mathbb{Z}_N$ 二形式规范理论（四维情形）中拉格朗日子群的稳定性条件，以确定允许的 $N$。
• 应用条件 $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$（当 $N$ 为奇数时）和 $k^2 \equiv -1 \pmod{2N}$（当 $N$ 为偶数时），以确定 $\mathbb{Z}_4^{\text{em}}$ 对称性是否保持拉格朗日子群。
• 使用依赖于 $N$、$p$、$q$ 和拓扑精化 $J$ 的相位因子的表面算符 $\widetilde{S}_{(p,q)}(\sigma)$，构造显式拓扑操作，将非可逆缺陷映射为可逆缺陷。
• 对偶数 $N$ 使用扩展电荷空间 $\mathbb{Z}_{2N}$ 处理拓扑精化，并在自旋流形上约化为 $\mathbb{Z}_N$，以恢复 $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维量子场论中，$\mathbb{Z}_N^{(0)}$ 对偶缺陷在何种条件下为群论性？
• RQ2 在四维量子场论中，$\mathbb{Z}_N^{(1)}$ 对偶缺陷在何种条件下为群论性？
• RQ3 确保对偶缺陷的 SymTFT 为狄克格拉夫-惠特尼理论的精确数学条件是什么？
• RQ4 在群论性情形下，拓扑操作如何将非可逆对偶缺陷映射为可逆缺陷？
• RQ5 群论性对偶缺陷与形成保持对偶性的能隙相的障碍之间有何联系？

主要发现

• 在二维中，$\mathbb{Z}_N^{(0)}$ 对偶缺陷为群论性当且仅当 $N$ 为完全平方数。
• 在四维中，对于 $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ 对偶缺陷，在某些假设下，其为群论性当且仅当 $N = L^2M$ 且 $-1$ 模 $M$ 为二次剩余。
• 对偶缺陷的群论性质等价于其 SymTFT 为狄克格拉夫-惠特尼理论，后者又等价于拉格朗日子群在 $\mathbb{Z}_4^{\text{em}}$ 对称性下的稳定性。
• 对于奇数 $N$，条件 $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ 是 $\mathbb{Z}_4^{\text{em}}$ 对称性保持拉格朗日子群的必要且充分条件，对应于 $L=1$ 的特殊情况。
• 对于偶数 $N$，条件 $k^2 \equiv -1 \pmod{2N}$ 无解，但在自旋流形上，条件约化为 $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$，当 $-1$ 模 $N$ 为二次剩余时该条件可解。
• 构造了显式拓扑操作，可将满足群论性条件的 $N$ 对应的非可逆对偶缺陷映射为可逆缺陷，使用依赖于 $N$、$p$、$q$ 和拓扑精化 $J$ 的相位因子的表面算符。