[论文解读] When Do Spacetimes Have Constant Mean Curvature Slices?

James Dilts, Michael Holst|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究了时空是否存在常平均曲率（CMC）截面，这是广义相对论中的一个关键假设，可简化初始数据和演化问题。作者分析了已知的无CMC截面的时空例子，认为此类时空可能不具普遍性，并推测CMC截面并非普遍特征，这对基于CMC的数学相对论结果的广泛应用具有影响。

ABSTRACT

Many results in mathematical relativity, including results for both the initial data problem and for the evolution problem, rely on the existence of a constant mean curvature (CMC) Cauchy surface in the underlying spacetime. However, it is known that some spacetimes have no CMC Cauchy surfaces (slices). This is an obstacle for many results and constructions with these types of spacetimes, and is particularly worrisome since it is not known whether spacetimes that do have CMC slices are in any sense generic. In this expository paper, we will discuss the known results about the existence (and non-existence) of CMC slices, examine the evidence for cases which are unknown, and make several conjectures concerning the existence of CMC slices and their generality.

研究动机与目标

• 确定在数学相对论中，具有常平均曲率（CMC）截面的时空是否具有普遍性。
• 分析已知的无CMC截面的时空例子，并评估其结构和动力学性质。
• 研究无CMC截面是否在初始数据空间中为开条件或闭条件。
• 探讨无CMC截面的时空是否仍能存在近似常平均曲率（near-CMC）截面，这或可保持共形方法的实用性。
• 挑战CMC截面普遍存在的基础假设，该假设支撑了广义相对论中约束问题和演化问题的诸多关键结果。

提出的方法

• 回顾已知的无CMC截面的时空例子，包括Chruściel、Isenberg和Pollack的真空例子。
• 分析缺乏CMC截面的时空的几何与动力学行为，特别关注其渐近结构和曲率性质。
• 使用极限论证：考虑一系列具有CMC截面的时空收敛于边界时空，以推断极限的性质。
• 检验CMC与非CMC行为在初始数据小扰动下的稳定性。
• 应用共形方法对非CMC例子附近的初始数据进行测试，以检验解的存在性，以及是否可向CMC数据变形。
• 基于启发式与几何推理提出猜想，特别是关于非CMC条件的开性，以及无CMC截面时空中膨胀区域的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有全局双曲时空的集合中，具有常平均曲率（CMC）截面的时空是否具有普遍性？
• RQ2 缺乏CMC截面的时空是否仍能存在近似常平均曲率（near-CMC）截面，即平均曲率梯度足够小？
• RQ3 无CMC截面是否在初始数据空间中为开条件，意味着此类时空构成初始数据空间中的一个孤立连通分支？
• RQ4 是否可通过利用near-CMC行为，将共形方法扩展至参数化无CMC截面的时空的初始数据？
• RQ5 无CMC截面的时空在长期稳定性方面如何，特别是与膨胀区域或射线的存在性相关时？

主要发现

• 无CMC截面的时空确实存在，这由Bartnik以及后来Chruściel、Isenberg和Pollack的例子所证明。
• CMC截面的存在性尚未被证明为普遍性质；事实上，作者推测其并非普遍。
• 即使缺乏CMC截面，时空仍可能允许任意接近常平均曲率的截面，表明共形方法在这些情况下可能仍具实用性。
• 无CMC截面可能为开条件，意味着无此类截面的时空在初始数据空间中构成一个孤立连通分支。
• 无CMC截面的时空在某些区域预计为膨胀状态，且此类膨胀区域在小扰动下可能保持稳定，支持非CMC时空并非孤立例外的观点。
• 共形方法在远离CMC区域时的失效表明，CMC数据不足以参数化所有初始数据，但near-CMC数据可能仍可处理。