[论文解读] When do wireless network signals appear Poisson?

Holger Paul Keeler, Nathan Ross+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 25被引用 25

一句话总结

本文建立了无线网络中信号强度收敛到正实轴上的泊松或 Cox 点过程的一般条件，即使发射机位置并非泊松分布时也成立。通过耦合与总变差距离的界，证明了在强衰落和各向同性网络条件下，信号强度过程呈现泊松类似行为，从而为即使在发射机几何结构非泊松的情况下仍使用泊松模型描述信号强度提供了理论依据。

ABSTRACT

We consider the point process of signal strengths from transmitters in a wireless network observed from a fixed position under models with general signal path loss and random propagation effects. We show via coupling arguments that under general conditions this point process of signal strengths can be well-approximated by an inhomogeneous Poisson or a Cox point processes on the positive real line. We also provide some bounds on the total variation distance between the laws of these point processes and both Poisson and Cox point processes. Under appropriate conditions, these results support the use of a spatial Poisson point process for the underlying positioning of transmitters in models of wireless networks, even if in reality the positioning does not appear Poisson. We apply the results to a number of models with popular choices for positioning of transmitters, path loss functions, and distributions of propagation effects.

研究动机与目标

• 确定在发射机配置非泊松分布的情况下，无线网络中信号强度过程可否被泊松或 Cox 点过程近似。
• 推广先前关于在衰落极限下实现泊松收敛的结果，将其扩展至一般路径损耗和衰落模型。
• 提供真实信号强度过程与泊松/Cox 近似之间总变差距离的定量界。
• 为无线网络理论中广泛使用泊松模型描述信号强度提供理论依据，即使发射机位置并非泊松分布。
• 探讨在不同传播效应和网络配置下，泊松近似的鲁棒性。

提出的方法

• 使用耦合论证，通过总变差距离将信号强度过程与泊松和 Cox 过程进行比较。
• 分析逆信号强度过程 $ N = \{P_i^{-1}\} $，将问题转化为在 $ \mathbb{R}_+^\circ $ 上更易处理的形式。
• 应用泊松映射定理及点过程的性质，将变换后过程与非齐次泊松或 Cox 过程关联起来。
• 利用涉及 $ |\Lambda|(h^{-1}(S(\sigma)t)) $ 的期望值和相对强度收敛测度的总变差距离界。
• 利用分布收敛和有界收敛定理，证明当衰落方差增大时，渐近呈现泊松行为。
• 推导出信号过程的均值测度收敛到极限测度 $ L $ 的条件，从而确保弱收敛到泊松过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当发射机位置非泊松分布时，无线网络中信号强度点过程在何种条件下收敛到泊松过程？
• RQ2 一般路径损耗函数和随机衰落效应如何影响信号强度过程向泊松或 Cox 过程的收敛？
• RQ3 真实信号强度过程与其中泊松或 Cox 近似之间总变差距离的定量界是什么？
• RQ4 在非泊松发射机的真实无线网络场景中，能否严格证明使用泊松模型描述信号强度的合理性？
• RQ5 衰落强度（如阴影衰落或多径效应）如何影响信号强度过程中向泊松行为的收敛？

主要发现

• 当衰落变量 $ S(\sigma) \to 0 $ 几乎必然成立，且网络为各向同性并满足适当的路径损耗标度时，信号强度过程 $ \Pi $ 在分布上收敛到泊松过程。
• 在一般条件下，逆信号强度过程 $ N = \{P_i^{-1}\} $ 弱收敛到均值测度为 $ L $ 的泊松过程，意味着原始信号过程渐近为泊松过程。
• 在 $ g $ 和 $ \xi $ 满足弱正则性条件下，当衰落参数 $ \sigma \to \infty $ 时，信号强度过程与泊松近似之间的总变差距离收敛到零。
• 即使底层发射机过程 $ \xi $ 不是泊松过程，只要其满足正则性条件：$ |\xi|(r)/D(r) \to 1 $ 几乎必然成立，且当 $ r \to 0 $ 时 $ D(r) \to 0 $，该收敛仍成立。
• 结果证明，在具有强衰落的大规模各向同性无线网络中，无论真实发射机点过程为何，均可合理地将信号强度建模为泊松或 Cox 过程。
• 本文提供了涉及 $ \mathbb{E}|\Lambda|(h^{-1}(S(\sigma)t)) $ 的总变差距离显式界，且当 $ \sigma \to \infty $ 时该界趋于零，从而确认了收敛性。