[论文解读] When Does Adaptivity Help for Quantum State Learning?

Sitan Chen, Brice Huang+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

该论文解决了在使用非相干测量进行量子态层析时适应性是否具有优势的根本性问题。对于可 trace 距离估计，研究证明适应性不提供任何优势，需要 Ω(d³/ε²) 份副本——与已知的上界一致。然而，对于保真度误差估计，作者设计了一种自适应算法，实现了最优的 O~(d³/γ) 份副本复杂度，这严格优于非自适应方法。

ABSTRACT

We consider the classic question of state tomography: given copies of an unknown quantum state $ρ\in\mathbb{C}^{d imes d}$, output $\widehatρ$ which is close to $ρ$ in some sense, e.g. trace distance or fidelity. When one is allowed to make coherent measurements entangled across all copies, $Θ(d^2/ε^2)$ copies are necessary and sufficient to get trace distance $ε$. Unfortunately, the protocols achieving this rate incur large quantum memory overheads that preclude implementation on near-term devices. On the other hand, the best known protocol using incoherent (single-copy) measurements uses $O(d^3/ε^2)$ copies, and multiple papers have posed it as an open question to understand whether or not this rate is tight. In this work, we fully resolve this question, by showing that any protocol using incoherent measurements, even if they are chosen adaptively, requires $Ω(d^3/ε^2)$ copies, matching the best known upper bound. We do so by a new proof technique which directly bounds the ``tilt'' of the posterior distribution after measurements, which yields a surprisingly short proof of our lower bound, and which we believe may be of independent interest. While this implies that adaptivity does not help for tomography with respect to trace distance, we show that it actually does help for tomography with respect to infidelity. We give an adaptive algorithm that outputs a state which is $γ$-close in infidelity to $ρ$ using only $ ilde{O}(d^3/γ)$ copies, which is optimal for incoherent measurements. In contrast, it is known that any nonadaptive algorithm requires $Ω(d^3/γ^2)$ copies. While it is folklore that in $2$ dimensions, one can achieve a scaling of $O(1/γ)$, to the best of our knowledge, our algorithm is the first to achieve the optimal rate in all dimensions.

研究动机与目标

• 确定自适应非相干测量是否能相较于非自适应协议，改善量子态层析的副本复杂度。
• 解决长期悬而未决的开放问题：非相干层析在 trace 距离下的 O(d³/ε²) 上界是否紧致。
• 探索适应性是否能在非相干测量框架下，为基于保真度误差的态学习提供更优速率。
• 开发一种新颖的贝叶斯下界技术，直接分析后验分布的‘倾斜’以证明对自适应协议的紧致下界。
• 在非相干测量约束下，建立 trace 距离与保真度误差估计的最优副本复杂度。

提出的方法

• 提出一种基于分析自适应测量后后验分布‘倾斜’的新证明技术，避免依赖经典信息论框架。
• 采用贝叶斯形式化方法建模态学习问题中的不确定性，并推导出实现高置信度估计态所需测量数的下界。
• 应用矩阵集中与算子范数不等式，以限制后验分布相对于真实态的偏离，尤其在自适应测量选择存在时。
• 构建一个有效的半正定下界，用于真实态与估计态之间保真度的比较，利用测量算子的谱性质。
• 设计一种用于保真度误差估计的自适应算法，使用 O~(d³/γ) 份副本，具有对数轮次的自适应性，实现最优速率。
• 在测量策略中采用递归结构，每轮基于前序结果优化估计，从而实现相较于非自适应方法的指数级改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 非相干态层析在 trace 距离下的 O(d³/ε²) 副本复杂度是否紧致，还是适应性可将其降低？
• RQ2 自适应非相干测量能否在量子态学习中实现优于非自适应方法的副本复杂度？
• RQ3 在保真度误差方面，量子态层析的最优副本复杂度是多少？适应性能否实现该最优值？
• RQ4 基于后验倾斜的新型贝叶斯框架能否为自适应非相干测量协议提供紧致下界？
• RQ5 对数轮次的适应性是否足以实现非相干态学习的最优速率，还是需要更多适应性？

主要发现

• 该论文为非相干态层析在 trace 距离下的副本复杂度建立了紧致下界 Ω(d³/ε²)，证明适应性无法优于非自适应协议。
• 该下界与 [KRT17] 中已知的 O(d³/ε²) 上界一致，从而解决了量子信息理论中的一个长期开放问题。
• 对于保真度误差估计，作者提出一种自适应算法，实现 O~(d³/γ) 的副本复杂度，该复杂度在非相干测量下为最优。
• 该新算法优于非自适应方法的下界 Ω(d³/γ²)，表明在保真度设置下适应性提供了二次优势。
• 所提出的基于后验倾斜的贝叶斯证明技术被证明强大且可推广，可能适用于其他量子学习问题。
• 作者推测，为实现最优速率，对数轮次的适应性是必要的，暗示适应性深度与副本复杂度之间存在权衡。