[论文解读] When is Containment Decidable for Probabilistic Automata?
本文研究了概率自动机（PA）在不同歧义水平下其空性与包含问题的可判定性。研究证明，对于多项式歧义的PA，间隙空性问题具有可判定性，而标准空性问题与包含问题即使在具有线性歧义的PA中仍为不可判定。关键的是，本文建立了当一个自动机为无歧义而另一个为有限歧义时，包含问题的可判定性，其基础是实指数理论在Schanuel猜想下的可判定性。
The containment problem for quantitative automata is the natural quantitative generalisation of the classical language inclusion problem for Boolean automata. We study it for probabilistic automata, where it is known to be undecidable in general. We restrict our study to the class of probabilistic automata with bounded ambiguity. There, we show decidability (subject to Schanuel's conjecture) when one of the automata is assumed to be unambiguous while the other one is allowed to be finitely ambiguous. Furthermore, we show that this is close to the most general decidable fragment of this problem by proving that it is already undecidable if one of the automata is allowed to be linearly ambiguous.
研究动机与目标
- 确定在不同歧义程度下，概率自动机的空性与包含问题是否具有可判定性。
- 通过分析线性、多项式及有限歧义等歧义类，识别可判定与不可判定情形之间的边界。
- 建立在何种条件下，包含问题仍保持可判定性，特别是当一个自动机为无歧义而另一个为有限歧义时。
- 探讨数学逻辑，尤其是实指数理论可判定性，在证明PA包含问题可判定性结果中的作用。
提出的方法
- 通过将其约化为底层的非确定性有限自动机，分析概率自动机的歧义性，将其分类为线性、多项式或有限歧义。
- 使用近似技术将多项式歧义PA约化为有限歧义PA，利用后者空性问题的可判定性。
- 采用自动机构件（如C(x,y,z)）的补集构造，构建1−[[A]]与1−[[B]]的自动机，通过接受路径的结构分析证明其具有线性歧义。
- 应用Minkowski-Weyl分解与基于锥体的推理，分析涉及指数运算的不等式组解的结构。
- 依赖实指数理论的可判定性（在Schanuel猜想成立的条件下），证明无歧义与有限歧义自动机之间包含问题的可判定性。
- 将包含问题约化为一个涉及阈值比较的承诺问题，并通过从已知不可判定问题的约化，证明线性歧义情形下的不可判定性。
实验结果
研究问题
- RQ1多项式歧义概率自动机的间隙空性问题是否可判定？
- RQ2标准空性与包含问题在具有线性歧义的概率自动机中是否可判定？
- RQ3当一个自动机为无歧义而另一个为有限歧义时，是否可判定其包含关系？
- RQ4实指数理论的可判定性在证明PA包含问题可判定性结果中起到何种作用？
- RQ5随着歧义程度的增加，自动机构造的哪些结构性质会从可判定转变为不可判定？
主要发现
- 通过有限歧义自动机的近似方法，证明了多项式歧义概率自动机的间隙空性问题具有可判定性。
- 即使在具有线性歧义的概率自动机中，标准空性与包含问题仍为不可判定，这一结果强化了对二次歧义自动机的先前结果。
- 当一个自动机为无歧义而另一个为有限歧义时，包含问题具有可判定性，其基础是Schanuel猜想下实指数理论的可判定性。
- 关键构件（如C(x,y,z)）的补集自动机通过状态转移的结构分析，证明其为线性歧义，且接受路径数量受到限制。
- 补集自动机中接受路径的数量被限制为与字长呈线性关系，从而确认了构造过程中的线性歧义性。
- 无歧义与有限歧义情形下可判定性的证明，关键在于将其约化为一个依赖于Schanuel猜想的条件可判定性理论的满足性问题。
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