[论文解读] When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?

Jörg Jahnel|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Mathematics and Applications参考文献 1被引用 25

一句话总结

本文研究了有理角度（以度为单位）的余弦或正弦何时为有理数或代数数。利用三角恒等式、单位根性质及伽罗瓦理论，证明了cos(α)为有理数仅当α为特定角度（0°, 60°, 90°, 120°, 180°），并通过欧拉函数φ(n)刻画代数值，表明对于有理角度α = m/n·360°，2cos(α)是次数为φ(n)/2的代数整数。

ABSTRACT

If the cosine of a rational multiple of $π$ is a rational number then it is an integral multiple of $\frac12$. For this fact, we give a proof accessible to an interested school student. We then discuss which quadratic and cubic irrationalities are values of cosine at ratinal multiples of $π$.

研究动机与目标

• 确定对于哪些有理角度α，α的余弦或正弦为有理数。
• 将结果扩展至代数数，特别是刻画cos(α)为低次代数整数的条件。
• 建立代数数cos(α)的次数与有理角度α = m/n·360°对应的欧拉函数φ(n)之间的精确联系。
• 利用等分布性和狄利克雷抽屉原理，证明由无理角度生成的SO₂(ℝ)中的旋转是稠密的。
• 对所有给定次数的代数数，完成有理角度的完整分类，其余弦值为代数数。

提出的方法

• 使用倍角恒等式cos(2α) = 2cos²(α) − 1，通过分母的递降分析cos(α)的有理性。
• 应用恒等式cos(nα) = T_n(cos(α))，其中T_n为切比雪夫多项式，证明cos(α)满足具有整系数的首一多项式。
• 利用复单位根：对于α = m/n·360°，有2cos(α) = ζ_n^m + ζ_n^{-m}，表明2cos(α)是代数整数。
• 应用伽罗瓦理论：[ℚ(ζ_n):ℚ] = φ(n)，且由于cos(α) ∈ ℝ，当n > 2时，有[ℚ(cos(α)):ℚ] = φ(n)/2。
• 应用狄利克雷抽屉原理，证明无理角度的倍数模360°是稠密的，从而证明SO₂(ℚ)在SO₂(ℝ)中是稠密的。
• 分析2cos(α)的最小多项式，如20°、40°等角度的x³ − 3x ± 1，以对代数次数进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有理角度α，cos(α)为有理数？
• RQ2 哪些代数数可作为有理角度α的cos(α)出现，其次数由什么决定？
• RQ3 为何arccos(3/5)的旋转是无理角度？这与SO₂(ℝ)中的稠密性有何关联？
• RQ4 当α = m/n·360°时，代数数cos(α)的次数与欧拉函数φ(n)有何关系？
• RQ5 在[0°, 90°]范围内，所有余弦值为四次或五次无理代数数的有理角度有哪些？

主要发现

• cos(α)为有理数当且仅当α ∈ {0°, 60°, 90°, 120°, 180°}，对应cos(α) ∈ {−1, −1/2, 0, 1/2, 1}。
• 对于有理数α = m/n·360°且gcd(m,n) = 1，2cos(α)是ℚ上次数为φ(n)/2的代数整数。
• 当φ(n) = 8时，cos(α)为四次无理代数数；此时n = 15, 16, 20, 24, 30，对应角度如12°, 15°, 18°, 22.5°, 24°, 30°, 48°, 54°, 60°, 67.5°, 72°, 75°, 84°。
• 当φ(n) = 10时，cos(α)为五次无理代数数；仅当n = 11和22时成立，对应角度如180°/11 ≈ 16.36°, 2×180°/11 ≈ 32.73°等。
• 由arccos(3/5)生成的旋转为无理角度，因为cos(α) = 3/5不在有理数集合中，这意味着对应矩阵的幂生成SO₂(ℝ)中的一个稠密子群。
• 若φ为无理角度，则集合{nφ mod 360° | n ∈ ℕ}在[0°, 360°)中是稠密的，该结论由狄利克雷抽屉原理证明。