[论文解读] When roll-overs do not qualify as numéraire: bond markets beyond short rate paradigms

Irene Klein, Thorsten Schmidt+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通過證明銀行存款過程——常被用作計價單位——可能因流動性影響而無法成為有效的計價單位，特別是在多條收益率曲線市場中，從而重新定義債券市場建模。研究顯示，無套利條件（NAFL 與 NAA1）等價於相對於到期債券作為計價單位的等價局部鞅測度的存在，並證明即使銀行存款過程本身不是真正的計價單位，其廣義形式仍可作為滾動策略的極限出現。

ABSTRACT

We investigate default-free bond markets where the standard relationship between a possibly existing bank account process and the term structure of bond prices is broken, i.e. the bank account process is not a valid numéraire. We argue that this feature is not the exception but rather the rule in bond markets when starting with, e.g., terminal bonds as numéraires. Our setting are general càdlàg processes as bond prices, where we employ directly methods from large financial markets. Moreover, we do not restrict price process to be semimartingales, which allows for example to consider markets driven by fractional Brownian motion. In the core of the article we relate the appropriate no arbitrage assumptions (NAFL), i.e. no asymptotic free lunch, to the existence of an equivalent local martingale measure with respect to the terminal bond as numéraire, and no arbitrage opportunities of the first kind (NAA1) to the existence of a supermartingale deflator, respectively. In all settings we obtain existence of a generalized bank account as a limit of convex combinations of roll-over bonds. Additionally we provide an alternative definition of the concept of a numéraire, leading to a possibly interesting connection to bubbles. If we can construct a bank account process through roll-overs, we can relate the impossibility of taking the bank account as numéraire to liquidity effects. Here we enter endogenously the arena of multiple yield curves. The theory is illustrated by several examples.

研究动机与目标

• 挑戰債券市場中銀行存款過程始終是有效計價單位的標準假設。
• 研究標準債券價格與銀行存款之間關係崩潰的債券市場，特別是在銀行存款在任何等價測度下均非鞅的情況下。
• 在不假設半鞅性質的情境下，基於到期債券作為計價單位，建立無套利框架。
• 形式化廣義銀行存款作為滾動策略凸組合極限的出現，即使銀行存款本身不是有效計價單位。
• 將銀行存款作為計價單位的失效與流動性影響及多條收益率曲線動態聯繫起來，為此類市場結構提供理論基礎。

提出的方法

• 使用大型金融市場理論分析一般右連續、有左極限的債券價格過程，不假設其為半鞅。
• 透過 NAFL（無漸近免費午餐）與 NAA1（第一類無套利）定義無套利，並與以到期債券為計價單位的等價局部鞅測度存在性聯繫。
• 透過在細化分割上對短期債券的凸組合，構造廣義銀行存款為滾動策略的極限。
• 應用計價單位變換技術，以到期債券作為計價單位，證明在等價測度下折現債券價格為鞅。
• 提出計價單位的新定義，允許存在泡沫，並將銀行存款作為計價單位的失效與嚴格局部鞅行為聯繫起來。
• 使用分數布朗運動與伊藤型積分的隨機微積分方法，模擬非半鞅價格過程，特別是在以 $ W_t^2 $ 為驅動的範例中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，銀行存款過程會在債券市場中無法成為計價單位？
• RQ2 當銀行存款不是有效計價單位時，如何表徵無套利條件（NAFL 與 NAA1）？
• RQ3 在銀行存款在任何等價測度下均非鞅的債券市場中，到期債券作為計價單位的角色為何？
• RQ4 在無半鞅價格過程的市場中，廣義銀行存款如何作為滾動策略凸組合的極限出現？
• RQ5 銀行存款作為計價單位的失效與多條收益率曲線體系中的流動性影響之間有何關聯？

主要发现

• 即使銀行存款過程存在，也可能因倒數增長最佳投資組合的嚴格局部鞅性質而無法成為有效計價單位。
• 無套利（NAFL）等價於以到期債券為計價單位的等價局部鞅測度的存在。
• 第一類無套利（NAA1）等價於超鞅貼現因子的存在。
• 廣義銀行存款即使在非半鞅設定（如分數布朗運動驅動的市場）中，亦可作為滾動債券凸組合的極限出現。
• 在範例中，若 $ Z(T) = \exp(T - 2\int_0^T W_s^2 ds - W_T^2) $，則折現滾動存款帳戶 $ V(T) = Z(\tau(T)) $ 幾乎必然收斂至 0，當 $ T \to \infty $ 時，表示 $ B(1) = 0 $，即滾動策略導致資本完全虧損。
• 滾動帳戶 $ B^n $ 的極限收斂至 $ \exp(-2\int_0^{\tau(T)} W_s^2 ds + \tau(T) - \tau^2(T)) $，顯示當基礎過程非真正鞅時，無風險滾動策略也可能極具風險。