[论文解读] When the Optimum is also Blind: a New Perspective on Universal Optimization

Marek Adamczyk, Fabrizio Grandoni+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的随机通用优化框架，该框架在相同约束条件下，将近似通用解与最优通用解进行对比，而非与离线最优解对比。通过舍入配置整数规划并利用子模优化技术，该框架在集合覆盖问题上实现了$H_n$的近似比，并为其他NP难问题提供了改进的界。

ABSTRACT

Consider the following variant of the set cover problem. We are given a universe $U=\{1,...,n\}$ and a collection of subsets $\mathcal{C} = \{S_1,...,S_m\}$ where $S_i \subseteq U$. For every element $u \in U$ we need to find a set $ϕ(u) \in \mathcal C$ such that $u\in ϕ(u)$. Once we construct and fix the mapping $ϕ:U ightarrow \mathcal{C}$ a subset $X \subseteq U$ of the universe is revealed, and we need to cover all elements from $X$ with exactly $ϕ(X):=\cup_{u\in X} ϕ(u)$. The goal is to find a mapping such that the cover $ϕ(X)$ is as cheap as possible. This is an example of a universal problem where the solution has to be created before the actual instance to deal with is revealed. Such problems appear naturally in some settings when we need to optimize under uncertainty and it may be actually too expensive to begin finding a good solution once the input starts being revealed. A rich body of work was devoted to investigate the approximability of such problems under the regime of worst case analysis or when the input instance is drawn randomly from some probability distribution. Here one typically compares the quality of the produced solution with the optimal offline solution. In this paper we consider a different viewpoint: What if we would compare our approximate universal solution against an optimal universal solution that obeys the same rules as we do? We show that under this viewpoint it is possible to achieve improved approximation algorithms for the stochastic version of universal set cover. Our result is based on rounding a proper configuration IP that captures the optimal universal solution, and using tools from submodular optimization. The same basic approach leads to improved approximation algorithms also for other related problems.

研究动机与目标

• 通过引入在相同约束下与最优通用解进行对比的更自然的比较方式，解决通用优化中最坏情况和期望比基准的局限性。
• 开发一种框架，为随机通用问题提供优于传统期望比模型的近似保证。
• 将该方法扩展至多个NP难覆盖问题，包括集合覆盖、顶点覆盖、边覆盖、有向Steiner树、多割和设施选址问题。
• 基于配置整数规划和子模优化，提出一种统一方法，以实现紧密的近似比。
• 即使在具有多项式有界支撑的一般概率分布下，也能实现最优近似比（例如，集合覆盖问题的$H_n$），而不仅限于独立激活模型。

提出的方法

• 将最优通用解建模为配置整数规划（CONF-IP），在输入揭示之前捕获从元素到集合的所有有效映射。
• 将配置IP松弛为线性规划（LP-MC），并利用对偶性和基于流的分析，将其与原问题关联。
• 应用基于子模优化的舍入过程，将分数解转换为具有有界成本增长的整数解。
• 利用Räcke的树分解技术，将一般图嵌入到近似保持割结构的树中，从而实现高效解的构造。
• 利用具有$O(\log n)$相对负载的分解树的凸组合，对所有图的近似比进行有界控制。
• 将树分解中的对偶解进行缩放，以推导出原图的可行对偶解，从而证明多割问题的$O(\log n)$近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否通过与最优通用解对比而非与离线最优解对比，在通用随机优化中获得更好的近似保证？
• RQ2 在具有多项式有界支撑的一般概率分布下，是否可能实现通用集合覆盖问题的$H_n$近似比？
• RQ3 所提出的框架能否扩展至集合覆盖之外的其他NP难覆盖问题？
• RQ4 在通用随机设置中，配置整数规划与子模优化的结合如何改善近似比？
• RQ5 在独立激活模型下，使用树分解技术对一般图中的通用多割问题，可实现的近似比是多少？

主要发现

• 该论文在任意具有多项式有界支撑的概率分布下，实现了通用集合覆盖问题的$H_n$近似比，与经典离线近似比一致。
• 在独立激活模型下，对于一般图中的通用多割问题，该论文实现了相对于最优通用解的$O(\log n)$近似比。
• 该框架通过与最优通用解对比，优于以往的期望比模型，后者在通用约束下并非自然的基准。
• 该方法具有通用性，可为顶点覆盖、边覆盖、有向Steiner树、多割和设施选址问题提供改进的近似算法。
• 利用具有$O(\log n)$相对负载的Räcke树分解，确保近似比随顶点数的对数规模增长。
• 在树上对(LP-MC)分数解的舍入实现了3-近似，该结果通过分解树的凸组合扩展至一般图。