[论文解读] Which infinite abelian groups admit an almost maximally almost-periodic group topology?

Athena P. Nguyen|ArXiv.org|Dec 2, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文证明了每个具有无限挠子群的无限阿贝尔群都具有一个几乎极大几乎周期性的豪斯多夫群拓扑，即其冯·诺伊曼根子非平凡且有限。关键贡献在于对普吕弗 2-群 $\mathbb{Z}(2^\infty)$ 成功证明了该结论，从而将此前仅对奇素数成立的结果完整扩展至 $p=2$ 的情形，方法包括 $T$-序列与特征群技术。

ABSTRACT

A topological group G is said to be almost maximally almost-periodic if its von Neumann radical is non-trivial, but finite. In this paper, we prove that every abelian group with an infinite torsion subgroup admits a (Hausdorff) almost maximally almost-periodic group topology. Some open problems are also formulated.

研究动机与目标

• 确定哪些无限阿贝尔群具有豪斯多夫群拓扑，使得其冯·诺伊曼根子非平凡但有限（即几乎极大几乎周期性）。
• 将卢卡茨早期针对 $\mathbb{Z}(p^\infty)$（$p \neq 2$）的结果扩展至 $p = 2$ 的情形，从而完成对普吕弗群的分类。
• 通过群论与拓扑学结构方法，证明每个具有无限挠子群的阿贝尔群均具有此类拓扑。
• 解决关于阿贝尔群能否作为豪斯多夫拓扑群中冯·诺伊曼根子的实现性问题。

提出的方法

• 利用阿贝尔群中的 $T$-序列构造群拓扑，使得特定元素收敛于单位元。
• 应用庞特里亚金对偶理论：冯·诺伊曼根子 $\mathbf{n}(G)$ 是所有连续特征标 $\chi \in \widehat{G}$ 的核的交集。
• 利用布罗赫紧化 $bG = \widehat{\widehat{G}_d}$ 来刻画 $\mathbf{n}(G)$ 为所有 $\chi \in \widehat{G}$ 的 $\ker \chi$ 的交集。
• 利用 $\widehat{\mathbb{Z}(p^\infty)} \cong \mathbb{Z}_p$ 的事实，分析普吕弗群上的特征标并控制其核。
• 应用一个一般性结果（定理 4.2）：若群 $B$ 的子群 $A$ 属于类 $\mathcal{A}$（即具有几乎极大几乎周期性拓扑的群类），则在特定条件下 $B$ 也属于 $\mathcal{A}$。
• 利用约化 $p$-群的结构以及 $\mathbb{Z}(2^\infty)$ 中 $T$-序列的存在性，显式构造出所需的拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些无限阿贝尔群具有豪斯多夫群拓扑，且其冯·诺伊曼根子非平凡但有限？
• RQ2 能否将 $\mathbb{Z}(p^\infty)$ 具有几乎极大几乎周期性拓扑的结果推广至 $p = 2$？
• RQ3 哪些阿贝尔群可作为豪斯多夫拓扑群的冯·诺伊曼根子？
• RQ4 哪些阿贝尔群可作为豪斯多夫阿贝尔拓扑群的冯·诺伊曼根子出现？
• RQ5 每个具有无限挠子群的阿贝尔群是否都能赋予一个几乎极大几乎周期性群拓扑？

主要发现

• 定理 A 证明了每个具有无限挠子群的阿贝尔群均具有一个豪斯多夫几乎极大几乎周期性群拓扑。
• 定理 B 证明了对于 $\mathbb{Z}(2^\infty)$ 及任意非零元素 $x$，存在一个豪斯多夫群拓扑 $\tau$，使得 $\mathbf{n}(\mathbb{Z}(2^\infty), \tau) = \langle x \rangle$，即一个有限循环子群。
• 对 $p = 2$ 的定理 B 的证明，完成了卢卡茨此前的工作，后者仅在 $p \neq 2$ 时证明了相同结论。
• 具有几乎极大几乎周期性拓扑的群类 $\mathcal{A}$ 在某些群扩张下是封闭的，从而可将该性质从子群传递至更大群。
• 通过适当的 $T$-序列构造，可使 $\mathbb{Z}(2^\infty)$ 的冯·诺伊曼根子等于由任意非零元素生成的任意有限循环子群。
• 可作为冯·诺伊曼根子出现的阿贝尔群类 $\mathcal{B}$ 包括 $\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}(p^\infty)$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{Q}$，以及此类群的任意直和与直积。