[论文解读] Which random walks are cyclic?

Davide Gabrielli, Carla Valente|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文刻画了在 $ζ^d$、有限图和离散环面上的随机游动何时可进行循环分解——即将转移概率表示为有限循环的叠加。主要结果表明，在 $ζ^d$ 上的平移不变随机游动是循环的，当且仅当其跳跃分布是平衡的；在有限图上，循环分解等价于每个顶点处通量平衡，极端情形由Birkhoff–von Neumann定理和Carathéodory定理刻画。在二维情况下，利用离散Hodge分解和基本循环的Helly定理给出了完整的刻画。

ABSTRACT

A cyclic random walk is a random walk whose transition probabilities/rates can be written as a superposition of the empirical measures of a family of finite cycles. This identifies a convex set of models. We discuss the problem of characterization of cyclic random walks in some special cases showing that it is related to several remarkable and classical results. In particular we introduce the notion of balanced measure and show that a translation invariant random walk on $\mathbb Z^d$ is cyclic if and only if its transition probability is balanced. The characterization of the extremal elements is obtained using the Carathéodory's Theorem of convex analysis. We then show that a random walk on a finite set is cyclic if and only if at every vertex the outgoing flux of the transition graph is equal to the ingoing flux. The extremal elements are characterized by the Birkhoff-Von-Neumann Theorem. Finally we consider the discrete torus and discuss when the cyclic decomposition can be done using only homotopically trivial cycles or elementary cycles associated to edges and two dimensional faces. While in one dimension this is equivalent to require some geometric properties of a discrete vector field associated to the transition rates, in two dimension this is not the case. In particular we give a simple characterization of the polyhedron of the rates admitting a cyclic decomposition with elementary cycles. The proof is based on a discrete Hodge decomposition, elementary homological algebra and the Helly's Theorem of convex analysis. Finally we discuss a natural discretization procedure of smooth divergence free continuous vector fields and an application to random walks in random environments.

研究动机与目标

• 刻画可分解为有限循环叠加的随机游动，该性质与深层的概率和几何性质密切相关。
• 通过平衡测度的概念，建立在 $ζ^d$ 上平移不变随机游动循环分解的必要与充分条件。
• 通过通量平衡将刻画推广至有限图，并通过同伦平凡或基本循环将刻画推广至离散环面。
• 构建一个几何与代数框架——利用离散Hodge分解和凸几何——以确定此类分解存在的条件。
• 将结果应用于随机环境中随机游动，特别是具有周期性或光滑无散度向量场的情形。

提出的方法

• 引入平衡测度的概念：对于任意过原点的超平面，跳跃向量到每个半空间的期望距离相等。
• 利用Carathéodory定理刻画 $ζ^d$ 上极端循环随机游动为至多 $d+1$ 个循环的凸组合。
• 应用Birkhoff–von Neumann定理刻画有限图上极端循环分解为均匀权重的循环支撑的凸组合。
• 利用离散Hodge分解将转移率与势函数关联，并定义一个离散向量场 $φ$，使得 $\phi = d\psi$。
• 在凸分析中使用Helly定理，刻画二维环面上可分解为基本循环的速率集合的多面体结构。
• 通过在格点上采用分段常数势函数，对光滑无散度向量场进行离散化，确保通量为零，从而实现循环分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ζ^d$ 上的平移不变随机游动何时是循环的？其跳跃分布需满足何种条件？
• RQ2 在有限图上，转移率需满足何种条件，才能保证随机游动具有循环分解？
• RQ3 在离散环面上的循环分解能否限制在基本循环（与边和面相关）上？何种条件可确保这一点？
• RQ4 在二维情况下，离散Hodge分解如何将转移率与循环分解的存在性联系起来？
• RQ5 在随机环境中，何种条件下随机游动可通过循环分解实现 quenched 中心极限定理？

主要发现

• 在 $ζ^d$ 上的平移不变随机游动是循环的，当且仅当其跳跃分布是平衡的，即对任意过原点的超平面，跳跃向量到两侧的期望位移相等。
• $ζ^d$ 上极端循环随机游动的转移概率仅支持在至多 $d+1$ 个向量上，这由Carathéodory定理保证。
• 在有限图上，一个马尔可夫链是循环的，当且仅当每个顶点的加权流出等于流入，即转移图是平衡的。
• 有限图上极端循环分解由Birkhoff–von Neumann定理刻画，对应于均匀权重的循环支撑。
• 在二维离散环面上，可分解为基本循环的速率集合构成一个多面体，其结构通过离散Hodge理论和Helly定理得到完整刻画。
• 速率矩阵可分解为基本循环的充分条件是：速率矩阵的对称部分在势函数的对偶图的直径上占优，该直径可通过生成树进行估计。