[论文解读] Whitehead products in symplectomorphism groups and Gromov-Witten invariants

Olguţa Buşe|ArXiv.org|Nov 5, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文计算了辛规则曲面的等变 Gromov-Witten 不变量，并利用它们检测辛自同构群同伦群中的非平凡高阶 Whitehead 乘积。通过将这些不变量与辛纤维丛及参数 Gromov-Witten 不变量关联，证明了当 $ g \geq 0 $ 时，$ \pi_*G^{g}_{\lambda} \otimes \mathbb{Q} $ 中 Samelson 乘积的非平凡性，特别是解决了 McDuff 在 $ g=1 $ 时提出的问题，并对 Abreu-McDuff 研究的 $ BG^{0}_{\lambda} $ 的有理上同调环提供了新的解释。

ABSTRACT

Consider any symplectic ruled surface $(M^g_λ,ω_λ)$ given by $(Σ_g imes S^2, λσ_{Σ_g} \oplus σ_{S^2})$. We compute all natural equivariant Gromov-Witten invariants $EGW_{g,0}(M^g_λ;H_k, A-kF)$ for all hamiltonian circle actions $H_k$ on $M^g_λ$, where $A=[Σ_g imes pt]$ and $F= [pt imes S^2]$. We use these invariants to show the nontriviality of certain higher order Whitehead products that live in the homotopy groups of the symplectomorphism groups $G_λ^g$, $g \geq 0$. Our results are sharper when $g=0,1$ and enable us to answer a question posed by D.McDuff in the case $g=1$ and provide a new interpretation of the multiplicative structure in the ring $H^*(BG^0_λ ;\Q)$ found by Abreu-McDuff.

研究动机与目标

• 计算辛规则曲面 $ M^g_{\lambda} = \Sigma_g \times S^2 $ 上哈密顿圆作用的自然等变 Gromov-Witten 不变量。
• 利用这些不变量检测辛自同构群 $ G^g_\lambda $ 同伦群中非平凡的高阶 Whitehead 乘积。
• 解决 D. McDuff 在 [13] 中提出的问题，即关于 $ \pi_*G^1_\lambda $ 中非平凡 Samelson 乘积的存在性。
• 为 Abreu-McDuff 研究的有理上同调环 $ H^*(BG^0_{\lambda}; \mathbb{Q}) $ 提供新的解释。

提出的方法

• 计算哈密顿圆作用 $ H_k $ 在 $ M^g_\lambda $ 上的等变 Gromov-Witten 不变量 $ EGW^{J^{(k),g}}_{g,0}(M^g_\lambda; H_k; s_{A-kF}) $。
• 将结果 $ EGW^{J^{(k),g}}_{g,0}(M^g_\lambda; H_k; s_{A-kF}) = \pm 1 \cdot \mathrm{u}^{2k+g-1} $ 作为关键输入，其取值于 $ H^*(BS^1, \mathbb{Q}) $。
• 将这些不变量与 $ \mathbb{C}P^n $ 上辛纤维丛的参数 Gromov-Witten 不变量（PGW）关联。
• 通过辛纤维丛和同伦群的长正合列，运用障碍理论方法检测 $ \pi_*BG^g_\lambda $ 中非平凡元素。
• 利用形变论证和大 $ \lambda $ 下纤维丛的同伦等价性，从平凡性假设导出矛盾。
• 运用 Gromov、Abreu、McDuff 的结果以及几乎复结构的分层方法，分析 $ G^g_\lambda $ 的拓扑结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在规则曲面的辛自同构群 $ G^g_\lambda $ 的同伦群中是否存在非平凡的高阶 Whitehead 乘积？
• RQ2 等变 Gromov-Witten 不变量能否检测 $ \pi_*G^g_\lambda \otimes \mathbb{Q} $ 中非平凡的 Samelson 乘积？
• RQ3 参数 Gromov-Witten 不变量能否检测辛自同构群中的拓扑障碍？
• RQ4 能否通过这些不变量重新解释有理上同调环 $ H^*(BG^0_\lambda; \mathbb{Q}) $？
• RQ5 是否存在某个 $ \lambda_0 $，使得连续族映射在 $ BG^g_\lambda $ 中变为无意义？

主要发现

• 等变 Gromov-Witten 不变量 $ EGW^{J^{(k),g}}_{g,0}(M^g_\lambda; H_k; s_{A-kF}) $ 在 $ H^*(BS^1, \mathbb{Q}) $ 中取值为 $ \pm 1 \cdot \mathrm{u}^{2k+g-1} $，证明了其非平凡性。
• 当 $ g=1 $ 时，存在 $ \widetilde{\gamma} \in \pi_1G^1_1 $，使得 Samelson 乘积 $[\widetilde{\gamma}, \widetilde{\gamma}]_s \in \pi_2G^1_1 $ 非平凡，但当 $ \lambda > 1 $ 时消失。
• 当 $ g=0 $ 且 $ k < \lambda \leq k+1 $ 时，在 $ \pi_{4k}(G^0_{k+1}) $ 中存在阶为 $ 2k+1 $ 的非平凡 Samelson 乘积，其非平凡像 $ \widetilde{w}_k $ 在 $ \lambda > k+1 $ 时消失。
• 当 $ g \geq 2 $ 且 $ k > [g/2] $ 时，在 $ \pi_{2p-2}(G^g_k) $ 中存在阶为 $ p $ 的非零 Samelson 乘积，其中 $ g \leq p \leq 2k+g-1 $。
• 假设连续族映射 $ \beta_\lambda $ 在 $ BG^g_\lambda $ 中始终保持本质性，将导致矛盾，这意味着存在一个临界值 $ \lambda_0 $，使其变为无意义。
• 矛盾源于：两个纤维丛具有同构的 $ 2k+g-1 $-骨架时，其参数 PGW 不变量必须同构，但其中一个在类 $ A-kF $ 中为平凡，另一个为非平凡。