[论文解读] Whittaker Functions and Demazure Operators

Ben Brubaker, Daniel Bump+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文通过仿射 Hecke 代数，精确建立了 $p$-进群表示理论中 Iwahori 固定点 Whittaker 函数与 Demazure 算子之间的联系。它表明，Iwahori 固定点 Whittaker 向量的标准基在特殊化 $q^{-1} \to 0$ 时转化为 Demazure 特征，并提供了一种使用与 Bott-Samelson 解析相关的校正项的 Demazure-Lusztig 算子的递归算法，从而为所有 Weyl 群元素提供了 Whittaker 函数的统一公式。

ABSTRACT

We consider a natural basis of the Iwahori fixed vectors in the Whittaker model of an unramified principal series representation of a split semisimple p- adic group, indexed by the Weyl group. We show that the elements of this basis may be computed from one another by applying Demazure-Lusztig operators. The precise identities involve correction terms, which may be calculated by a combinatorial algorithm that is identical to the computation of the fibers of the Bott-Samelson resolution of a Schubert variety. The Demazure-Lusztig operators satisfy the braid and quadratic relations satisfied by the ordinary Hecke operators, and this leads to an action of the affine Hecke algebra on functions on the maximal torus of the L-group. This action was previously described by Lusztig using equivariant K-theory of the flag variety, leading to the proof of the Deligne-Langlands conjecture by Kazhdan and Lusztig. In the present paper, the action is applied to give a simple formula for the basis vectors of the Iwahori Whittaker functions.

研究动机与目标

• 理解分裂 $p$-进群的无ramified 主系连连表示中 Iwahori 固定点 Whittaker 向量的结构。
• 利用 Demazure 算子为在极大环面元素上取值的 Whittaker 函数提供统一公式。
• 通过仿射 Hecke 代数将 $p$-进群的表示理论与旗流形及 Schubert 流形的拓扑联系起来。
• 提供一种使用 Demazure-Lusztig 算子和来自 Bott-Samelson 解析的校正项递归计算 Whittaker 函数的算法。

提出的方法

• 作者通过 Bruhat 序对标准基向量 $\Phi_w^\tau$ 求和，定义了以 Weyl 群 $W$ 为指标的 Iwahori 固定点向量基 $\tilde{\Phi}_w^\tau$。
• 他们应用 Demazure-Lusztig 算子来关联基向量 $\tilde{\Phi}_w^\tau$，并表明其作用满足仿射 Hecke 代数的 braid 关系与二次关系。
• Whittaker 函数 $\mathcal{W}_\tau(\tilde{\Phi}_w^\tau)$ 通过仿射 Hecke 代数在 $\mathbb{C}[v,v^{-1}] \otimes \mathcal{O}(\hat{T})$ 上的作用来计算，其中 $\hat{T}$ 是 Langlands 对偶群的最大环面。
• Demazure 算子作用中的校正项被证明对应于 Schubert 流形的 Bott-Samelson 解析的纤维。
• 特殊化 $q^{-1} \to 0$ 将 Whittaker 函数转化为 Demazure 特征，从而将 $p$-进表示理论与 Schubert 上同调联系起来。
• 作者使用 Hecke 代数中的 Kazhdan-Lusztig 基 $C_w'$ 定义 $\boldsymbol{C}_w(\lambda) = v^{l(w)/2} C_w' \cdot \boldsymbol{z}^\lambda$，并将其与 $\boldsymbol{X}_w(\lambda)$ 关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $p$-进群的背景下，Iwahori 固定点 Whittaker 向量与 Demazure 算子之间有何关系？
• RQ2 仿射 Hecke 代数在连接 $p$-进群表示理论与 Schubert 流形之间起什么作用？
• RQ3 能否为所有 Weyl 群元素在极大环面元素上取值的 Whittaker 函数给出统一公式？
• RQ4 Demazure 算子作用于 Whittaker 函数时，校正项的几何意义是什么？
• RQ5 Whittaker 函数在何时与 Kazhdan-Lusztig 基重合？这对其 Schubert 流形意味着什么？

主要发现

• Whittaker 函数 $\mathcal{W}_\tau(\tilde{\Phi}_w^\tau)(a_\lambda)$ 在特殊化 $q^{-1} \to 0$ 时变为 Demazure 特征，如定理 18 所述。
• Demazure-Lusztig 算子在 Iwahori 固定点 Whittaker 向量上的作用包含的校正项与 Schubert 流形的 Bott-Samelson 解析的纤维完全匹配。
• 仿射 Hecke 代数在 $\mathbb{C}[v,v^{-1}] \otimes \mathcal{O}(\hat{T})$ 上的作用通过映射 $\xi_\lambda$ 实现，这些映射是 $\mathcal{H}_v$-模同态。
• $\boldsymbol{z}^{-\rho}$ 张成一个一维 $\mathcal{H}_v$-不变子空间，赋予符号表示，且整个模 $\mathbb{C}[v,v^{-1}] \otimes \mathcal{O}(\hat{T})$ 同构于从该符号表示诱导出的表示。
• $\boldsymbol{X}_w(\lambda)$ 与 $\boldsymbol{C}_w(\lambda)$ 当且仅当 Schubert 流形 $X_w$ 为有理光滑时重合，如命题 30 所示。
• Whittaker 函数的递归结构由 Bruhat 序控制，且 $T_i$ 在 $\boldsymbol{z}^{-\rho}$ 上的作用结果为 $-\boldsymbol{z}^{-\rho}$，从而确认了符号表示。