[论文解读] Whittaker functions associated to newforms for GL(n) over p-adic fields

Michitaka Miyauchi|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文为 $p$-进域 $F$ 上 $ \mathrm{GL}_n(F)$ 的不可约通用表示的新形式（newform）关联的 Whittaker 函数提供了显式公式，该公式以 Hecke 特征值和表示的 $L$-因子表示。关键结果表明，对这类 Whittaker 函数在 $ \mathrm{GL}_1(F)$ 上积分，可得到该表示的标准 $L$-函数，通过 Hecke 代数作用与对称函数，将 Shintani 对未分歧情形的公式推广至新形式情形。

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field of characteristic zero. Jacquet, Piatetski-Shapiro and Shalika introduced the notion of newforms for irreducible generic representations of GL_n(F). In this paper, we give an explicit formula for Whittaker functions associated to newforms on the diagonal matrices in GL_n(F).

研究动机与目标

• 将 Shintani 对 $\mathrm{GL}_n(F)$ 上未分歧 Whittaker 函数的显式公式推广至 $p$-进域上新形式的情形。
• 以 Hecke 特征值和表示的 $L$-因子表达新形式关联的 Whittaker 函数在对角矩阵上的形式。
• 通过新形式 Whittaker 函数建立 $L$-函数的 zeta 积分表示。
• 在 $BK_{c(\pi)}$ 上为新形式 Whittaker 函数提供构造性公式，该公式足以计算 Rankin-Selberg 类型的 zeta 积分。

提出的方法

• 利用紧开子群 $K_{c(\pi)}$ 关联的 Hecke 代数作用于一维新形式空间，其作用由 Hecke 特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}$ 的数量乘法给出。
• 通过定义归一化的 Whittaker 函数 $\widetilde{w}(f) = q^{\sum (n-1-j)f_j} W(\varpi^f)$，将函数方程转化为差分方程组。
• 通过变量 $\mu_i$ 的初等对称多项式求解差分方程组，其中 $\mu_i$ 与 Langlands 参数 $\alpha_i$ 相关，关系为 $\mu_i = q^{(n-1)/2 - 1} \alpha_i$。
• 将 Whittaker 函数在对角矩阵 $\varpi^f = \mathrm{diag}(\varpi^{f_1}, \dots, \varpi^{f_{n-1}}, 1)$ 上的表达式写为 $W(\varpi^f) = \delta_B^{1/2}(\varpi^f) s_f(\alpha) W(1)$，当 $f_1 \geq \dots \geq f_{n-1} \geq 0$ 时成立，否则为零。
• 利用 Kirillov 模型与 Iwasawa 分解，确保在某个 $\varpi^f$ 处非零，并证明对非零新形式有 $W(1) \neq 0$。
• 通过 $Z(s,W) = \int_{F^\times} W(t(a)) |a|^{s - (n-1)/2} d^\times a$ 对 Whittaker 函数在 $\mathrm{GL}_1(F) \subset \mathrm{GL}_n(F)$ 上积分，证明当 $W(1) = 1$ 时，其值等于 $L(s,\pi)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Shintani 对 $\mathrm{GL}_n(F)$ 上未分歧 Whittaker 函数的显式公式推广至 $p$-进域上新形式的情形？
• RQ2 在 $\mathrm{GL}_n(F)$ 的对角矩阵上，新形式关联的 Whittaker 函数的精确表达式是什么？
• RQ3 新形式 Hecke 代数的 Hecke 特征值与表示的 $L$-因子之间有何关系？
• RQ4 能否通过新形式 Whittaker 函数的 zeta 积分恢复不可约通用表示 $\pi$ 的 $L$-因子？
• RQ5 在 $BK_{c(\pi)}$ 上 Whittaker 函数的公式在多大程度上足以计算 Rankin-Selberg 理论中的 zeta 积分？

主要发现

• 与 $\mathrm{GL}_n(F)$ 新形式关联的 Whittaker 函数 $W$ 满足：当 $f_1 \geq \dots \geq f_{n-1} \geq 0$ 时，有 $W(\varpi^f) = \delta_B^{1/2}(\varpi^f) s_f(\alpha) W(1)$，否则为零，其中 $s_f(\alpha)$ 为 Langlands 参数 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 的完全齐次对称多项式。
• Hecke 特征值 $\lambda_i$ 与 $L$-因子的关系为 $L(s,\pi) = \left( \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i \lambda_i q^{i(i-1)/2 - i((n-1)/2 + s)} \right)^{-1}$，且参数 $\mu_i = q^{(n-1)/2 - 1} \alpha_i$ 满足 $\widetilde{w}(f)$ 的差分方程。
• zeta 积分 $Z(s,W) = \int_{F^\times} W(t(a)) |a|^{s - (n-1)/2} d^\times a$ 在 $W$ 为满足 $W(1) = 1$ 的新形式时，等于标准 $L$-函数 $L(s,\pi)$。
• 该公式确定了 $BK_{c(\pi)}$ 上的 Whittaker 函数，当所有数据均为新形式时，足以计算 zeta 积分。
• 新形式空间为一维，且对任意非零新形式有 $W(1) \neq 0$，确保了归一化可行。
• 该结果通过导子 $c(\pi) > 0$ 与 Hecke 代数方法，将 Shintani 对未分歧表示的公式推广至有分歧情形。