[论文解读] Whittaker functions on metaplectic covers of GL(r)

Anna Puskás|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文通过将 $GL(r)$ 的元群覆盖上的 Whittaker 函数的两种组合构造——一种基于 Weyl 群求和，另一种基于晶体基——联系起来，建立了 Tokuyama 定理的元群类比。利用元群 Demazure 与 Demazure-Lusztig 算子，本文证明了 Iwahori-Whittaker 函数的晶体描述，并提供了一种改进的归纳框架，克服了元群情形下缺乏 Pieri 法则类比的问题。

ABSTRACT

This paper establishes a combinatorial link between different approaches to constructing Whittaker functions on a metaplectic group over a non-archimedean local field. We prove a metaplectic analogue of Tokuyama's Theorem and give a crystal description of polynomials related to Iwahori-Whittaker functions. The proof relies on formulas of metaplectic Demazure and Demazure-Lusztig operators, proved previously in joint work with Gautam Chinta and Paul E. Gunnells.

研究动机与目标

• 建立元群 Whittaker 函数两种不同组合构造之间的组合联系：Weyl 群求和与晶体图求和。
• 在 $GL(r)$ 及其 $n$ 重覆盖的背景下，提供 Tokuyama 定理的元群类比，将经典组合恒等式推广至更高阶覆盖。
• 给出与元群上 Iwahori-Whittaker 函数相关的多项式之晶体理论描述。
• 通过改进证明的归纳结构，克服元群情形下缺乏 Pieri 法则类比的问题。
• 利用算子理论与组合工具，统一并推广元群情形下已有的 Casselman-Shalika 型公式。

提出的方法

• 利用与 Chinta 和 Gunnells 合作先前发展的元群 Demazure 与 Demazure-Lusztig 算子，解释 Whittaker 函数构造。
• 利用 $A$ 型最高权晶体及其分支性质，将基于晶体的公式与更小的 Demazure 晶体联系起来。
• 采用基于 Weyl 群中长字的“起始部分”的改进归纳策略，避免依赖 Pieri 法则。
• 利用 Chinta-Gunnells 对变量的作用来定义并计算元群算子，特别涉及 $x_r^n$ 和 $ au$-作用。
• 通过显式代数运算生成函数与对称表达式，包括使用 $h^{( u, u_0)}$ 和 $ ho$-平移项。
• 依赖引理 8 与命题 5 以减少对称性条件，通过显式计算 $P_{k,u}({\mathbf{x}})$ 及其 $ au$-像，证明其在 $ au_{r-1}$ 作用下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在统一框架下关联元群 Whittaker 函数的两种组合构造——基于 Weyl 群求和与基于晶体基？
• RQ2 在 $GL(r)$ 与 $n$ 重覆盖的背景下，Tokuyama 定理的元群类比是什么？
• RQ3 元群情形下缺乏 Pieri 法则类比的问题能否通过改进的归纳结构来克服？
• RQ4 元群 Demazure-Lusztig 算子如何编码元群上 Iwahori-Whittaker 函数的结构？
• RQ5 Chinta-Gunnells 作用在实现 Whittaker 函数多项式的对称性与不变性性质中起什么作用？

主要发现

• 本文证明了元群 Tokuyama 定理（定理 2），建立了元群情形下 Weyl 群求和与晶体图求和之间的组合恒等式。
• 提供了与 Iwahori-Whittaker 函数相关的多项式的晶体描述，表明其可通过分支规则从 Demazure 晶体中生成。
• 证明表明 $x_r^n \cdot f_{a,\Gamma_0}$ 在 $\sigma_{r-1}$ 作用下不变，这对生成函数的对称性至关重要。
• 计算表明 $P_{k,u}({\mathbf{x}})$ 满足恒等式 $P_{k,u}({\mathbf{x}}) = \frac{1 - v{\mathbf{x}}^{-n\alpha}}{{\mathbf{x}}^{-n\alpha} - 1} \cdot x_r^{nk+u+n-1} + \frac{1 - v{\mathbf{x}}^{n\alpha}}{{\mathbf{x}}^{n\alpha} - 1} \cdot \sigma(x_r^{nk+u+n-1})$，确认其在 $\sigma_{r-1}$ 作用下的不变性。
• 结果确认了 Whittaker 函数多项式在 Weyl 群元素 $\sigma_{r-1}$ 作用下对称，这符合元群结构的要求。