[论文解读] Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance?

Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文確立了大衛·愛德華茲（David Edwards）而非米哈伊爾·格羅莫夫（Mikhail Gromov）才是1975年首次定義格羅莫夫–豪斯多夫距離的人，比格羅莫夫廣泛引用的工作早了六年。愛德華茲透過將度量空間等距嵌入有界序列空間來定義該距離，並證明了其度量性質，然而其基礎性貢獻在文獻中長期被系統性地忽視。

ABSTRACT

One of the most beautiful notions of metric geometry is the Gromov-Hausdorff distance which measures the difference between two metric spaces. To define the distance, let us isometrically embed these spaces into various metric spaces and measure the Hausdorff distance between their images. The best matching corresponds to the least Hausdorff distance. The idea to compare metric spaces in such a way was described in M.Gromov publications dating back to 1981. It was shown that this distance being restricted to isometry classes of compact metric spaces forms a metric which is now called Gromov-Hausdorff metric. However, whether M.Gromov was the first who introduced this metric? It turns out that 6 years before these Gromov's works, in 1975, another mathematician, namely, David Edwards published a paper in which he defined this metric in another way. Also, Edwards found and proved the basic properties of the distance. It seems unfair that almost no one mentions this Edwards's paper including well-known specialists in metric geometry. The main goal of the present publication is to fill this gap.

研究动机与目标

• 解決格羅莫夫–豪斯多夫距離的歷史歸屬問題，挑戰公認的『米哈伊爾·格羅莫夫始創此概念』的信念。
• 證明大衛·愛德華茲於1975年在其論文《超空間的結構》（The Structure of Superspace）中定義了該距離，比格羅莫夫的工作早了六年。
• 強調愛德華茲不僅定義了該距離，還證明了其度量性質與基礎拓撲特徵。
• 糾正主要參考文獻與教科書中對愛德華茲著作的普遍忽略。
• 主張將愛德華茲的論文視為度量幾何的奠基性工作，並糾正其歷史上的邊緣化現象。

提出的方法

• 分析透過將度量空間等距嵌入共同度量空間，並對此類像的豪斯多夫距離取下確界，來定義格羅莫夫–豪斯多夫距離的形式定義。
• 比較格羅莫夫1981年的表述與愛德華茲1975年定義，使用在不相交並集上的可容許度量與變換的扭曲度。
• 應用嵌入到ℓ∞空間時豪斯多夫距離與基於對應關係的扭曲公式之間的等價性，證明愛德華茲的距離與標準格羅莫夫–豪斯多夫距離完全一致。
• 回顧愛德華茲的證明：該距離在緊緻度量空間的等距同構類上構成度量，並確立了完整性、可分性與非局部緊緻性等關鍵拓撲性質。
• 比較兩種表述下格羅莫夫–豪斯多夫空間的拓撲與幾何性質，證明兩者完全等價。
• 記錄學術文獻中對愛德華茲論文的引用情況，包括維基百科與F. Latremolière的研究，以驗證其雖遭歷史忽視，但實際上仍獲一定程度認可與影響。

实验结果

研究问题

• RQ1 誰是首位定義格羅莫夫–豪斯多夫距離的人？該概念首次正式提出於何時？
• RQ2 格羅莫夫1981年的表述與愛德華茲1975年定義的距離在關鍵差異與相似之處為何？
• RQ3 儘管愛德華茲1975年的論文具有基礎性，為何其在文獻中長期被系統性地忽視？
• RQ4 格羅莫夫–豪斯多夫空間在兩種表述下的拓撲與幾何性質在多大程度上一致？
• RQ5 學術文獻中存在哪些證據顯示愛德華茲的工作獲得承認？為何其重要性雖高卻仍被嚴重低 citation？

主要发现

• 大衛·愛德華茲於1975年在其論文《超空間的結構》（The Structure of Superspace）中定義了格羅莫夫–豪斯多夫距離，比格羅莫夫的工作早了六年。
• 愛德華茲的定義基於嵌入到ℓ∞空間的等距嵌入與豪斯多夫距離的下確界，其數學形式與標準格羅莫夫–豪斯多夫距離完全等價。
• 愛德華茲證明了該距離在緊緻度量空間的等距同構類空間上構成度量，並確立了完整性、可分性與非局部緊緻性等關鍵拓撲性質。
• 在愛德華茲距離下的緊緻度量空間空間具有可縮性、測地性與非緊緻性，且有限度量空間在此空間中稠密——其性質與格羅莫夫–豪斯多夫空間完全相同。
• 儘管其具有基礎性地位，愛德華茲的論文在度量幾何主要著作中極少被引用，包括格羅莫夫、布拉斯戈與其他學者的作品。
• 本文記錄顯示，愛德華茲的工作僅在少數來源中獲得承認，如F. Latremolière的著作與英文維基百科的修正前版本，凸顯其歷史性被忽視的現象。