[论文解读] Who witnesses The Witness? Finding witnesses in The Witness is hard and sometimes impossible

Zachary Abel, Jeffrey Bosboom+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Image and Video Retrieval Techniques被引用 5

一句话总结

本文分析了《见证者》游戏中纸笔谜题的计算复杂度，表明大多数谜题类型——如六边形、三角形、正方形、星星、多联骨牌及反多联骨牌——求解均为 NP-完全问题，意味着有效解（见证者）存在但难以找到。引入可抵消其他线索的‘抗体’后，问题复杂度升至 Σ₂-完全，表明即使存在单一抗体，有效解也可能根本不存在。

ABSTRACT

We analyze the computational complexity of the many types of pencil-and-paper-style puzzles featured in the 2016 puzzle video game The Witness. In all puzzles, the goal is to draw a path in a rectangular grid graph from a start vertex to a destination vertex. The different puzzle types place different constraints on the path: preventing some edges from being visited (broken edges); forcing some edges or vertices to be visited (hexagons); forcing some cells to have certain numbers of incident path edges (triangles); or forcing the regions formed by the path to be partially monochromatic (squares), have exactly two special cells (stars), or be singly covered by given shapes (polyominoes) and/or negatively counting shapes (antipolyominoes). We show that any one of these clue types (except the first) is enough to make path finding NP-complete ("witnesses exist but are hard to find"), even for rectangular boards. Furthermore, we show that a final clue type (antibody), which necessarily "cancels" the effect of another clue in the same region, makes path finding Sigma_2-complete ("witnesses do not exist"), even with a single antibody (combined with many anti/polyominoes), and the problem gets no harder with many antibodies.

研究动机与目标

• 系统分析《见证者》中所有单面板谜题类型的计算复杂度。
• 确定每种谜题类型是否存在有效解路径（见证者），并可高效找到。
• 探讨新线索类型（尤其是抗体）对解的存在性与复杂度的影响。
• 识别存在多项式时间算法的案例，例如单格线索或边界六边形。
• 根据其在表示路径与区域分解方面的表达能力，对谜题类型进行分类。

提出的方法

• 基于归约的证明，确立大多数谜题类型（包括六边形、三角形、正方形、星星及多联骨牌）的 NP-完全性。
• 构造可模拟已知 NP-完全问题（如精确覆盖与三数划分）的谜题实例。
• 利用平面图嵌入与边界终端约束，将子集哈密顿路径问题归约为多项式时间。
• 引入‘抗体’线索，可抵消其他线索的效果，通过存在量词与全称量词的交替，实现 Σ₂-完全性。
• 将单格与反单格谜题归约为边界六边形问题，从而实现多项式时间可解。
• 使用具有分离与连通约束的组件谜题，以强制实现特定路径与区域分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅含顶点六边形的《见证者》谜题路径查找问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 当仅使用常数个星星颜色时，该问题是否为 NP-难？
• RQ3 《见证者》中光桥元谜题的复杂度如何？
• RQ4 谜题设计问题（构造具有特定解结构的谜题）能否高效求解？
• RQ5 多联骨牌线索是否为 1-区域通用？即能否表达任意期望的区域分解？

主要发现

• 除断裂边（其为平凡情况）外，任何谜题类型在矩形网格上均为 NP-完全，即使如此。
• 抗体的存在使问题复杂度升至 Σ₂-完全，表明解的存在性无法保证，且计算难度超过 NP。
• 单格线索可通过归约为边界六边形问题，在多项式时间内求解。
• 多联骨牌与反多联骨牌线索即使限制为单格或双格，仍为 NP-完全。
• 即使仅存在一个抗体，问题复杂度仍为 Σ₂-完全，且增加更多抗体不会提高复杂度。
• 谜题设计问题的复杂度仍为开放问题，尽管推测其为困难问题。