[论文解读] Why Are the ARIMA and SARIMA not Sufficient

Shixiong Wang, Chongshou Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2019

Neural Networks and Applications参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文认为，ARIMA 和 SARIMA 模型在处理非平稳时间序列时理论不足，原因在于差分算子引起的谱失真。为此，提出 ARMA-SIN，一种基于谱分析与数字滤波的广义方法，在实现宽平稳性的同时保留有意义的频率成分，其在谱保真度和预测精度方面优于 S-ARIMA。

ABSTRACT

The autoregressive moving average (ARMA) model takes the significant position in time series analysis for a wide-sense stationary time series. The difference operator and seasonal difference operator, which are bases of ARIMA and SARIMA (Seasonal ARIMA), respectively, were introduced to remove the trend and seasonal component so that the original non-stationary time series could be transformed into a wide-sense stationary one, which could then be handled by Box-Jenkins methodology. However, such difference operators are more practical experiences than exact theories by now. In this paper, we investigate the power of the (resp. seasonal) difference operator from the perspective of spectral analysis, linear system theory and digital filtering, and point out the characteristics and limitations of (resp. seasonal) difference operator. Besides, the general method that transforms a non-stationary (the non-stationarity in the mean sense) stochastic process to be wide-sense stationary will be presented.

研究动机与目标

• 识别 ARIMA 和 SARIMA 模型在将非平稳时间序列转换为宽平稳过程时的理论局限性。
• 利用线性系统理论与数字滤波原理，分析差分算子与季节差分算子在频域中的谱影响。
• 设计一种通用方法，将非平稳随机过程转换为宽平稳过程，同时避免对有意义频率成分造成失真。
• 提出 ARMA-SIN 作为 S-ARIMA 的广义、理论严谨的替代方法，以保持谱完整性。
• 通过谱分析与滤波方法，证明 ARMA-SIN 在保留与估计底层动态特性方面优于 S-ARIMA。

提出的方法

• 使用谱分析与数字滤波，建模非平稳时间序列向宽平稳过程的转换。
• 应用线性系统理论，分析差分算子在频域中的行为。
• 基于离散傅里叶变换（DFT）与逆 DFT 设计定制数字滤波器，以分离并保留特定谱分量。
• 采用两步滤波方法：首先通过去除低频分量实现去趋势化，然后对残差使用 ARMA 建模。
• 利用快速傅里叶变换（FFT）识别主导频率，并通过振幅与相位估计提取正弦分量。
• 通过将估计的谱分量与滤波信号上的残差 ARMA 模型相结合，构建 ARMA-SIN 模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何 ARIMA 和 SARIMA 中的差分算子与季节差分算子即使被广泛使用，仍会造成谱失真？
• RQ2 使用差分算子将非平稳时间序列转换为宽平稳过程时，其理论局限性是什么？
• RQ3 如何设计一种通用转换方法，将非平稳随机过程转换为宽平稳过程，同时避免对有意义频率成分造成失真？
• RQ4 ARMA-SIN 在保留谱特征与提升预测精度方面，相较于 S-ARIMA 的优势体现在哪些方面？
• RQ5 数字滤波在实现更精确、更具理论依据的时间序列平稳化方法中扮演何种角色？

主要发现

• ARIMA 和 SARIMA 中的差分算子与季节差分算子在关键频率附近（特别是 $ w = 2k\pi/12 $）造成谱分量失真，导致有意义信号信息的丢失。
• SARIMA 的 12 阶季节差分算子在 $ w = 2\pi/12 $ 处显著失真谱响应，尽管其能有效去除季节成分。
• ARMA-SIN 保留了时间序列的原始谱分量，包括在 $ w = 0.2001 $ 处的脉冲，其振幅 $ A = 0.9721 $，相位 $ \varphi = -1.5440 $，经 DFT 分析验证。
• 如图 7 所示，ARMA-SIN 的谱估计优于 SARIMA，能保持信号谱的完整性。
• ARMA-SIN 在理论上优于 S-ARIMA，因其通过有针对性的数字滤波避免了谱泄漏与失真，而非使用通用差分。
• 所提方法通过基于谱内容的可选滤波，将 S-ARIMA 一般化，从而实现对非平稳过程更精确的建模。