[论文解读] Wide Morita contexts in Bicategories

Laiachi El Kaoutit|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文在任意双范畴中引入了广义右莫代数上下文的正式概念，将经典的莫代数理论推广至环与模之外的范畴。它构建了一个新的双范畴 W(B)，其1-箭头为这些广义右莫代数上下文，并将该框架应用于双模上的余单子的艾伦伯格-莫尔双范畴，表明即使在非阿贝尔范畴（如余模范畴）中，此类上下文也能诱导出余模范畴之间的等价关系。

ABSTRACT

We give a formal concept of (right) wide Morita context between two 0-cells in arbitrary bicategory. We then construct a new bicategory with the same 0-cells as the oldest one, and with 1-cells all these (right) wide Morita contexts. An application to the (right) Eilenberg-Moore bicategory of comonads associated to the bimodules bicategory is also given.

研究动机与目标

• 将莫代数上下文的概念从环与模推广至任意双范畴。
• 在双范畴中对0-范畴之间形式化广义右莫代数上下文，扩展经典莫代数理论。
• 构建一个新的双范畴 W(B)，其1-箭头为广义右莫代数上下文，从而为研究等价关系提供统一框架。
• 将该构造应用于双模上的右艾伦伯格-莫尔双范畴，将其与余模范畴联系起来。
• 证明该构造在非阿贝尔设定（如余模范畴）中保持结构性质，并诱导出等价关系。

提出的方法

• 在双范畴中将广义右莫代数上下文定义为包含1-箭头、余单位和单位的四元组，并满足相干性条件。
• 引入一种保持结构的广义莫代数上下文之间的态射，从而建立范畴化框架。
• 构造一个新的双范畴 W(B)，其0-箭头与 B 相同，且其 Hom-范畴由广义右莫代数上下文及其态射组成。
• 证明构造 W(B) 沿双范畴同态的函子性。
• 将该构造应用于双范畴 REM(Bim)，即双模上的右艾伦伯格-莫尔双范畴，以建立上下文与余模范畴之间的联系。
• 通过图示推理与自然变换验证所诱导结构满足所需的相干性与相容性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典莫代数上下文的概念推广至任意双范畴？
• RQ2 双范畴中0-范畴之间的广义右莫代数上下文集合具有何种结构？能否为其赋予双范畴结构？
• RQ3 W(B) 的构造在双范畴同态下是否保持关键的双范畴性质？
• RQ4 艾伦伯格-莫尔双范畴中的广义莫代数上下文能否诱导出余环上余模范畴之间的等价关系？
• RQ5 W(REM(Bim)) 中所诱导的结构与余模范畴中已知的莫代数型等价关系之间存在何种关系？

主要发现

• 在任意双范畴中确立了广义右莫代数上下文的正式定义，推广了环之间的经典莫代数上下文。
• W(B) 的构造是函子性的，且生成了一个定义良好的双范畴，其1-箭头为广义右莫代数上下文。
• W(REM(Bim)) 中的每个1-箭头均在余环上的右余模范畴之间诱导出一个广义右莫代数上下文。
• 所诱导的上下文满足所需的相干性条件，包括单位与余单位的三角恒等式，即使在余模范畴非阿贝尔时亦然。
• 该框架统一并扩展了先前在阿贝尔范畴与格罗滕迪克范畴中关于莫代数理论的结果，包括余模、分次模与余代数的情形。
• 该方法适用于纠缠结构、霍普夫模以及具有局部单位的环上的余代数，从而扩大了莫代数型等价关系的适用范围。