[论文解读] $\widetilde{Q}$-representation of real numbers and fractal probability distributions

Sergio Albeverio, V. D. Koshmanenko+2 more|ArXiv.org|Aug 1, 2003

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文引入实数的$\widetilde{Q}$-表示作为$s$-进制展开的推广，使得能够构造和分析具有复杂局部结构的分形与测度。通过豪斯多夫维数和符号频率分析，该文建立了具有独立$\widetilde{Q}$-符号的随机变量分布为绝对连续、奇异连续或纯点分布的充要条件，从而刻画了其支撑集的分形性质。

ABSTRACT

A $\widetilde{Q}-$representation of real numbers is introduced as a generalization of the $p-$adic and $Q-$representations. It is shown that the $\widetilde{Q}-$representation may be used as a convenient tool for the construction and study of fractals and sets with complicated local structure. Distributions of random variables $ξ$ with independent $\widetilde{Q}-$symbols are studied in details. Necessary and sufficient conditions for the probability measures $μ_ξ$ associated with $ξ$ to be either absolutely continuous or singular (resp. pure continuous, or pure point) are found in terms of the $\widetilde{Q}-$representation. In addition the metric-topological properties for the distribution of $ξ$ are investigated. A number of examples are presented.

研究动机与目标

• 开发实数的广义符号表示（$\widetilde{Q}$-表示），其为$s$-进制展开的推广，使得能够在$[0,1]$中构造任意豪斯多夫维数的分形。
• 分析具有独立$\widetilde{Q}$-符号的随机变量所生成的概率分布的度量、拓扑和分形性质。
• 根据$\widetilde{Q}$-表示参数，将所得概率测度分类为绝对连续、奇异连续或纯点测度。
• 利用符号频率和$\widetilde{Q}$-矩阵参数，计算此类随机变量分布的豪斯多夫-贝西科维奇维数。

提出的方法

• 通过在矩阵$q_{ik}$中编码可变的数字概率和转移规则，$\widetilde{Q}$-表示推广了$s$-进制展开。
• 构造具有独立$\widetilde{Q}$-符号的随机变量$\xi$，其中第$k$位数字$i$的概率$p_{ik}$被指定。
• 分布的支撑集被表征为集合$M[\widetilde{Q},(p_0,\dots,p_{s-1})]$，即其$\widetilde{Q}$-表示的渐近数字频率为$p_i$的点的集合。
• 通过符号动力系统和测度论分析推导出公式$\alpha_0(\xi) = \frac{\sum p_i \ln p_i}{\sum p_i \ln q_i}$，计算分布的豪斯多夫维数。
• 利用本质支撑集$N_\xi^\infty$分析支撑集的拓扑和度量性质，该集合捕捉了具有全测度的最小集合。
• 本文利用奇异连续测度分解为纯$C$-、$S$-和$P$-型分量的方法，对所得分布进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种$\widetilde{Q}$-表示和符号概率$p_{ik}$条件下，随机变量$\xi$的分布为绝对连续？
• RQ2 在何种条件下$\xi$的分布为奇异连续或纯点分布？这些类型与支撑集的拓扑和度量结构有何关系？
• RQ3 如何从$\widetilde{Q}$-矩阵和符号概率计算$\xi$的分布的豪斯多夫-贝西科维奇维数？
• RQ4 本质支撑集$N_\xi^\infty$与分布的分形结构之间存在何种关系，特别是在奇异情况下？
• RQ5 能否通过$\widetilde{Q}$-表示生成具有任意指定豪斯多夫维数$\alpha_0 \in [0,1]$的分形？

主要发现

• 当符号概率$p_{ik}$为常数且对称时，例如$p_{0k} = p_{2k} = 1/2$，$p_{1k} = 0$，则$\xi$的分布为绝对连续，产生纯$P$-型的勒贝格绝对连续测度。
• 当$p_{0k} = 1 - 1/2^k$，$p_{1k} = 0$，$p_{2k} = 1/2^k$时，分布为纯点，其测度为定义在豪斯多夫维数为零的可数集上的离散测度。
• 当$p_{0k} = 1/4$，$p_{1k} = 0$，$p_{2k} = 3/4$时，分布为奇异连续，产生纯$P$-型测度，其支撑集具有正的豪斯多夫维数但勒贝格测度为零。
• 分布的豪斯多夫-贝西科维奇维数由公式$\alpha_0(\xi) = \frac{\sum p_i \ln p_i}{\sum p_i \ln q_i}$给出，其中$p_i$和$q_i$分别为$\widetilde{Q}$-表示的渐近频率和缩放因子。
• 对于奇异分布，本质支撑集$N_\xi^\infty$比拓扑支撑集更具信息量，因为它捕捉了具有复杂局部结构的全测度最小集合。
• $\widetilde{Q}$-表示允许构造具有任意指定豪斯多夫维数$\alpha_0 \in [0,1]$的处处稠密、非紧致的分形。